книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости
..pdf§ 181 |
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА |
181 |
||
выше вытекает, что мера р = |
ар* + |
(Зр2 сводится к нулевой. Ана |
||
логичными |
рассуждениями |
это же |
утверждение |
доказывается |
и в пространствах Ъа (С, mes), Lq (С), q > 1. |
вращения С |
|||
Л е м м а |
18.2. Для любой кривой ограниченного |
однородное уравнение (18.20) (у = 0) при X = — 1 имеет не более одного линейно-независимого решения в каждом-из пространств
гса(С), Ъа (С, mes) и |
Lq (C), 1 < q < оо. |
|
18.7. |
Переходя |
к анализу неоднородного уравнения (18.2), |
рассмотрим сначала случай X = 1. Согласно лемме 18.1, соответ |
||
ствующее |
однородное уравнение (фх = 0) имеет только нулевое |
|
решение в пространстве |
(С), а значит, и в пространстве непре |
|
рывных функций, какова бы ни была кривая ограниченного вра |
щения С. Предположим теперь, что граница С не имеет точек за острения. Тогда в пространстве непрерывных на С функций опе ратор Т имеет радиус Фредгольма не меньше числа я/0та1 > 1 (см. п. 17.2), следовательно, в силу теоремы 5.1 и определения ра диуса Фредгольма (п. 8.6) оператор I — Т нормально разрешим и имеет равный пулю индекс. Таким образом, сопряженное одно родное уравпоние (18.20) (у = 0) в сопряженном пространстве гса (С) при Х = \ тоже имеет только нулевое решение. Остсюда сле дует, что неоднороное уравнение (18.2) при X = 1 имеет, и притом единственное, решение в пространстве непрерывных на С функ ций, какова бы ни была функция <рг из этого же пространства.
Пусть теперь X = — 1. В силу только что изложенных сообра
жений и лемм 18.1, 18.2 однородные уравнения (18.2) |
(фх = 0) |
|
и (18.20) (у = 0) имеют ровно по одному линейно-независимому |
||
решению в соответствующих пространствах. Пусть ц0 е |
гса (С) — |
|
ненулевое решение (18.20) при X = |
— 1, у = 0. Тогда для разре |
|
шимости неоднородного уравнения |
(18.2) при X = - 1 |
и фх = |
= Ф + а необходимо и достаточно, |
чтобы |
|
Ф (о) ф 0 (б) + aJ cZp0 (о) = 0. |
(18.21) |
Разобранный выше случай X = 1 означает на самом деле, что внутренняя задача Дирихле в классе непрерывных на G+ + С функций всегда и оанозначно резрешима. Отображая G~ на конеч ную область, например при помощи инверсии, убеждаемся, что всегда и однозначно разрешима и внешняя задача Дирихле в клас се непрерывных на G~ + С функций; в частности, однозначно определяется через граничную функцию ф постоянная а (значе ние решения на бесконечности). Из сказанного легко вывести, что второй интеграл в (18.21) отличен от нуля, т. е. р0 (С) Ф 0, а само это равенство может служить для определения а.
Т е о р е м а 18.4 (И. Радон,] см. [36]). Пусть G+ — произ вольная односвязная конечная область с границей С, имеющей, огра ниченное врагцение и не имеющей точек заострения. Тогда
182 |
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
[ГЛ. V |
(i) |
При любых непрерывных па С граничных значениях (р внут |
|
ренняя вадача Дирихле в классе непрерывных на G+ + С функций |
||
эквивалентна уравнению (18.2) при X = 1, |
= tp; это уравнение |
|
имеет, и притом единственное, решение f |
в классе непрерывных |
на С функций для любой ср, а решение задачи Дирихле выражается через^ при помощи потенциала (18.1).
(ii) Внешняя задача Дирихле в классе непрерывных па G~ -|- С функций имеет, и притом единственное, решение для любых непрерывных на С граничных значений (— <р). Это решение может быть представлено в виде суммы постоянной а, определяемой из равенства (18.21), и потенциала (18.1), плотность которого f есть
решение уравнения (18.2) при X = |
— 1, <рх = <р + а. |
Заметим, что потенциал (18.1), отвечающий решению / (s) = 1 |
|
уравнения (18.2) при X = — 1, |
= 0, тождественно равен нулю |
вG-.
18.8.Предположим теперь, что граничные значения ср при надлежат пространству (С). В таком пространстве оператор
Топределяется формулой вида (18.13). Как и в п. 17.2, предста
вим Т в виде суммы V + Тх. Как уже отмечалось, оператор V при любом б > 0 вполне непрерывен в пространстве Ь„ (С), ибо, как легко проверить, исходя из формулы (14.12), он отображает ограниченное множество в множество функций, равномерно огра ниченных и удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем а = 1 и одной и той же постоянной. Исходя из определения Тх как интеграла вида (18.13) по С (а, е), получаем
i n / l b c , < s u p . i $
С(о,е)
Рассуждая аатем, как в пп. 17.1,17.2, убеждаемся, что, как и в пространстве непрерывных функций, норма оператора Тг в оценивается числом (0тах + 6)/я, б > 0. Отсюда вытекает, что если С не имеет точек заострения, то радиус Фредгольма операто ра Т и в пространстве (С) больше единицы.
Т е о р е м а 18.5. Теорема 18.4 имеет место и в толь случае, когда граничные значения <р принадлежат пространству L » (С),
арешения разыскиваются в классе ограниченных функций.
Вклассе неограниченных функций и в областях с угловыми
граничными точками единственность задачи Дирихле может и не иметь места. Чтобы указать соответствующий пример, рас смотрим на разрезанной вдоль вещественной положительной полуоси ^-плоскости однозначную ветвь функции £* = = |£а|exp ia arg £. Для достаточно близких к 1 положительных чисел а < 1 лучи, определенные углами я/2а, Зя/2а, будут нахо диться в области однозначности функции £в, а ее вещественная часть Re £* = К I* cos a arg С будет равна нулю на них. При
S 18] ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА 183
помощи функции z = 2/(1 — £) часть ^-плоскости, заключенная между указанными лучами и принадлежащая области определе
ния ветви |
отображается на конечную область (г+. Граница |
этой области состоит из дуг двух окружностей и в точках z = О, |
|
z — 2 имеет внутренние углы я/а > я. Функция |
|
и(х, у) = Re [£ (z)]±e = R e ( l — {2)\±a |
x * + y * - 2 *
регулярна и гармонична внутри G+ и отлична от тождественного нуля, хотя она исчезает на границе области G+всюду, кроме точ ки z = 0, а соответствующая ей функция Ф (z) = (1 — 2/z)±“, как нетрудно убедиться, принадлежит классу Ер (G+) при р > 1, pa 1. Отмеченное обстоятельство связано с тем, что однород ное уравнение (18.2) (фА= 0) в пространствах Lp (С) при 1 <
<р < оо может иметь нетривиальные решения [42, б)].
18.9.Из сказанного в начале п. 18.6 вытекает, что мера |х е е тса (С) совпадает с мерой Бореля — Стилтьеса jx е тса(С),
построенной по |
функции jx (s) = р, (Es), |
0 < |
s < S, jx (0) = 0, |
тогда и только |
тогда, когда |х (С) = 0. |
Иными словами, между |
|
|
(о) |
|
состоящим из тех |
подпространством гса (С) пространства rca (С), |
элементов [х SE rca {С), для которых р. (С) = 0, и совокупностью всех функций точки jx (s), определенных и непрерывных справа в каждой точке кривой С, имеющих там ограниченную вариацию и обращающихся в точке z (0) в нуль, существует взаимноодно значное соответствие. Естественно поэтому говорить, что некото рая регулярная внутри G+ гармоническая функция и имеет
внутренний краевой поток вдоль границы С области G+, равный
у S гса (С), у (С) = 0, если некоторая сопряженная гармони ческая функция v регулярна, однозначна, ограничена в G¥ и поч
ти |
во всех |
точках границы С имеет некасательные предель |
ные |
значения |
у+, равные у (s) = у (Е3), Еа = {сг : 0 < о ^ з}, |
0 < s < S . |
|
|
Для любой области G+ со спрямляемой границей С поставим |
теперь задачу Неймана следующим образом: определить гармо ническую функцию в, которая была бы регулярной внутри обла
сти G+ и |
имела бы на. границе С заданный внутренний краевой |
поток у S |
(о) |
rsa (С). Нетрудно установить, что решение задачи Ней |
мана определяется с точностью до аддитивной константы. В самом деле, если бы две гармонические регулярные внутри G+ функции их, в2 имели один и тот же внутренний краевой поток у, то гар моническая функция v, сопряженная их — «2, была бы ограничен ной в G+ и ее граничные значения v+ почти всюду на С равнялись
184 |
КРАЕВЫЕ За Да ЧП |
1ГЛ. V |
бы нулю. Рассуждения п. 18.5 убеждают нас, что v = |
0 внутри |
G+, следовательно, щ = щ + const.
Переходя к вопросу о разрешимости задачи Неймана, предпо ложим, что граница С имеет ограниченное вращение и не имеет точек заострения. Как отмечалось в п. 18.7, в этом случае оба уравнения (18.2), (18.20) нормально разрешимы, и так как одно
родное уравнение (18.2) (фх == 0) при Я = |
—1 имеет тогда единст |
|||||||
венное непрерывное на |
С решение / (s) = |
1, |
то уравнение (18.20) |
|||||
при |
Я = — 1 |
имеет |
решение |
тогда |
и |
только |
тогда, когда |
|
V е |
гса (С) и |
у (С) = |
0, т. е. |
когда |
у е |
тса (С). |
Прибавляя, |
|
если |
нужно, |
к некоторому, решению этого |
уравнения решение |
«р 0 однородного уравнения и используя установленное в п. 18.7
свойство ро (С) Ф 0. всегда можно получить решение |
р |
уравне |
|
ния (18.20), удовлетворяющее условию р (С) = 0 . |
|
^ |
|
Рассмотрим теперь потенциал простого слоя вдоль Сс зарядом р: |
|||
»<*.У) = 4 |
1 1п |.(«)‘ - , | ,<1|1(*)- |
|
(18-22) |
Учитывая равенство р {С) = |
0 и используя соображения п. 18.6 |
||
для преобразования интеграла (18.22), получим |
|
|
|
»(*. У) = ВеФ(2), |
Ф (,) - |
. |
(18.23) |
Отсюда следует, что функция v (х, у), гармоническая и сопряжен ная интегралу (18.22), имеет вид суммы потенциала (18.1) с плот ностью /($) = р (а) и произвольной постоянной. Следовательно, эта функция однозначна, регулярна и ограничена, а в силу соот ношения (18.20") при Я = — 1 и подходящем выборе упомянутой постоянной предельные значения v+ почти всюду на границе С сов падают с функцией у (а). Таким образом, потенциал простого слоя
.(18.22) является решением сформулированной выше эадачи Ней мана.
... Чтобы избежать возможных недоразумений, сделаем одно замечание. Пусть С — достаточно гладкая кривая, и пусть тре буется отыскать регулярную внутри G+ гармоническую функцию л по условию duldn = / на С. Поскольку dv/ds = daldn = f,
.то эта задача эквивалентна задаче Дирихле для функции v с гра ничными значениями q> (а), равными интегралу от функции / в пре делах от 0 до а, 0 ^ а < S. Сформулированная выше постановка задачи Неймана восходит к Племелю и является обощением этой хорошо известной, классической редукции. В классе ограничен ных функций полученная задача Дирихле всегда имеет решение v, граничные значения которого v+ совпадают на С с функцией Ф (а) всюду, за исключением, возможно, точки z (0). Сопряженная гармоническая функция и может быть представлена в виде интег
§ 18] |
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА |
185 |
рала (18.22) и является, по определению, решением задачи Ней мана. Если функция (р (s) будет иметь в точке z ( 0 )e C разрыв первого рода, то решение и, как можно убедиться, будет иметь в этой же точке логарифмическую особенность. Отсюда вытекает, что условие разрешимости задачи Неймана в классической поста новке, состоящее, как известно, в том, чтобы функция ф (s) была непрерывной па С, т. е. чтобы ф (S) = 0, означает на самом деле условие непрерывности построенного выше решения (18.22)
взамкнутой области G+ + С.
Те о р е м а 18.6 ([17, н)]). Решение задачи Неймана единствен но с точностью до аддитивной постоянной. Если граница имеет
ограниченное вращение и не имеет точек заострения, то для любой
(0)
меры у ЕЕ тса (С) одно из решений зтой задачи имеет вид потен циала простогослоя (18.22), заряд которого р есть решение уравне ния (18.20) при X = — 1, обладающее свойством р (С) = 0.
18.10.Пусть z = © (£) — некоторое однолистное конформное
отображение круга |
|£ |< 1 на G+, Cpd G* — образ окружности |
К I = Р < 1. а £ = |
Q (z) — обратная к to (£) функция. Учиты |
вая, что сопряженная функция v ограничена, и опираясь на ре зультаты § 12, приходим к заключению, что гармоническая функ ция и [со, (С)] принадлежит классу Нр при любом конечном р. Иными словами, потенциал простого слоя (18.22) обладает свойст вом:
lim Л |u(z) р|£2'(z)|dz|< + оо, р < о о . |
(18.24) |
|
™ ср |
|
|
Заметим также, что, согласно лемме 16.2, аналитическая функ1 |
||
ция Ф (z), представленная |
формулой (18.23), принадлежит клас |
|
су Ер (G±) при любом р < |
оо, если кривая Радона |
С не имеет |
точек заострения. Вспоминая определение классов Ер (см. п. 11.4), приходим к выводу, что наряду с (18.24) имеет также место нера венство
lim |
|u(z)|p| d z K + ° ° , р < о о . |
(18.24') |
р -1 |
Ср |
|
Из граничных же свойств функций класса Ер (см. теорему 11.4) и представления (18.23) следует, что потенциал (18.22) имеет почти всюду на С конечные некасательные предельные значения м±, принадлежащие, как можно показать, опираясь на результаты §§ 15, 16, пространствам Lp {С) при любом р < оо. Из формулы Ф+ [z (ст)] — Ф~ [z (а)1 = 2гр (а) и вещественности функции р сле дует также, что почти всюду на С имеем и+ [z (о)] = и~ [z (о)].
Несколько больше о свойствах потенциала (18.22) можно ска зать в том случае, когда мера р абсолютно непрерывна и ее про изводная g (s) = р' принадлежит пространству Lq (С), q > 1.
186 |
|
|
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
£ГЛ. V |
Исходя |
из |
(48.22), |
получим |
|
Ф |
' |
1. j |
± j , W Н«*.т ^ |
г . (18.25) |
Снова опираясь на лемму 16.2, а затем на формулы вида (45.11), почти всюду па С получим
Ф '“ [z(с)] = u f - ii4 = ± ig(о) e"i0(a) + |
i - 1 g (з) 2(ж)^ г(б) |
= |
|
tO(<f) |
(* t о |
|
|
= ± (g («)e -W « -------— |
J (■•Sflnl* W — *(°)l + |
|
|
|
+ ^ |
f ( S, e)) » ( » ) * . |
(18.26) |
Обозначая через na внешнюю относительно области G+ нормаль
вточке г (о) гладкости границы С, почти всюду на С получим р- == ut cos (n, х) 4- uf cos (п, у) — — Re [(и£ — iiiy) iel0(o)J =
=±«W - 4S wW'’«)е W * =
= ± «(<=> - 4 | а£-1пW«) - * М I г (*) * • (18-27>
Таким образом, если (г абсолютно непрерывна и ее производная g(s) е Lq (С), g > 1, то первые производные их, иу потенциала (18.22) почти во всех точках границы С имеют конечные некаса
тельные предельные значения и*, н*, а пределы ди±1дп его произ
водной вдоль нормали п почти всюду на С совпадают с любым |
|
из двух последних выражений |
в (18.27), или, в соответствии |
с формулой (18.5), с функцией ± |
g (о) — Т* g (а) соответственно. |
Функция (18.25) во всяком |
случае входит в класс Ех (G±), |
следовательно, ее первообразная, т. е. функция (18.23), непрерыв
на в |
+ С, а ее значения Ф± [%(а)] абсолютно непрерывны |
по or |
(см., например, [35], гл. III, п. 7.3), Больше того, |
dO±[z (a)]ldaпринадлежат Lq (С), следовательно, Ф±[з (а)] удовлет воряют условию Гёльдера по крайней мере с показателем (g — 1)/д. Таким образом, в рассматриваемом случае потенциал (18.22), кроме отмеченных выше, имеет еще и следующие свойства: он
непрерывен в замкнутых областях (7± + |
С, его граничные значе |
|||
ния и (s) одни и те же с |
обеих сторон |
С (в = |
и+ = и~ всюду) |
|
и абсолютно |
непрерывны |
относительно |
дуги |
s, производная |
и' (s) е Lq (С) |
и в (s) е Lip a, a < (g — i)lq. Используя теоре- |
§19] ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ 187
му Лагранжа, легко установить, что почти во всех точках границы С потенциал (18.22) имеет обычные (односторонние) производные по нормали и эти производные совпадают с соответствующими выражениями (18.27).
Понятие внешнего краевого потока вдоль границы С определя ется аналогично понятию внутреннего краевого потока. Беря по
частям интеграл в выражении для предельных значений |
сопря |
женной интегралу (18.22) гармонической функции v, |
нетруд- |
(0/ |
|
но установить, что в общем случае, когда р, <= rca (С), потенциал
(18.22) имеет вдоль С внутренний и внешний краевой потоки,
(0) равные соответственно мерам ± р — Т*р €= rca {С).
§19. Задача линейного сопряжения
19.1.Как и прежде, через G+ будем обозначать конечную об ласть на плоскости комплексного переменного z = х + iy, гра ница которой С состоит из конечного числа замкнутых простых
ине пересекающих друг друга жордановых кривых. Дополнение
G~ -f С области G+ до полной плоскости содержит бесконечно удаленную точку и состоит из конечного числа компонент. Функ цию Ф (z), как принято, будем называть кусочно-голоморфной, если она определена и голоморфна в каждой конечной точке гф С и имеет полюс конечного порядка в бесконечно удаленной точке. Символами Ф+ (£), Ф~ (f), t €ELC, как и раньше, будем обозначать предельные значения Ф (z), когда точка z стремится к граничной точке t С, оставаясь соответственно внутри G+ или G~.
Предположим, что вдоль границы С заданы две функции D (t), g (t), принимающие, в общем случае, комплексные значе ния. Основное внимание будет уделено изучению следующей общей задачи линейного сопряжения: определить кусочно-голо морфную функцию Ф (z), которая имеет в бесконечно удаленной точке заданный порядок и удовлетворяет на границе С предель ному условию
Ф+ (*) — D (t) ф - (*) = g (t), t е с. |
(19.1) |
Дополнительные условия, которым должна удовлетворять функ ция Ф (z) вблизи С, и точный смысл граничного соотношения (19.1) будут точно сформулированы ниже.
Краевая задача (19.1) возникла еще в прошлом столетии в ра ботах Римана по теории дифференциальных уравнений с алгебраи ческими коэффициентами. Однако первые успехи в ее изучении относятся уже к нашему веку и связаны с именами Гильберта, Племеля, Карлемана. Исключительный интерес к этой задаче объясняется тем, что как она сама, так и многие родственные ей
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
[ГЛ. V |
задачи возникают во многих областях математической физики: тео рии упругости, гидро- и аэродинамике и др. Крупные результаты
вразвитии этой области математики принадлежат ученым пашей страны: И. И. Привалову, Н. И. Мусхелишвили, И. И. Векуа,
Ф.Д. Гахову и др. Благодаря их исследованиям и работам их последователей и учеников теория краевых задач и важные при менения приобрели, в известном смысле, законченный характер. С исчерпывающей полнотой изложение теории появилось в 1946 г.
в. монографии Н. И. Мусхелишвили «Сингулярные и интеграль ные уравнения». (Читатель найдет в этой книге полную библиогра фию, которая в последующих изданиях расширялась указаниями на работы самого последнего времени.)
Впоследующие годы исследования были сосредоточены в не
скольких направлениях. Крупным достижением явились работы И. Н. Векуа, в которых построена теория краевых задач для об щих эллиптических систем уравнений с двумя аргументами й даны ее применения в геометрии и теории оболочек. Были полу чены результаты по анализу краевых задач, поставленных на римановых поверхностях, найдены применения теории и ее мето дов в теоретической физике, интенсивно велись обобщения на случай большого числа аргументов. И, наконец, не прекращались исследования в направлении максимального ослабления исходных предположений на коэффициенты граничных краевых условий и свойства граничных кривых. Основное содержапие настоящей главы посвящено именно этому последнему направлению.
Расширение предположений об исходных даппых задачи должно, естественно, сопровождаться соответствующим расши рением класса функций, в котором ищутся решения. Для тех пред положений, которые приняты ниже, естественными классами функ ций оказываются классы Харди Нр и их обобщения — классы Смирнова Ер. Аналитическим средством изучения краевых задач рассматриваемого вида служат интегралы Радона и Коши, основным свойствам которых посвящена гл. IV. В частности, ре зультаты пп. 15.5—15.8, особенно теорема И. И. Привалова 15.3, дают возможность отмечать связь между получаемыми результата ми и теми, которые входят в классический фонд теории. Эти ука зания, естественно, не дают возможности составить правильное и поЛпое представлепие об объеме имевшихся ранее результатов без ознакомления с указанной выше монографией Н. И. Мусхелишвили либо с монографией Ф. Д. Гахова «Краевые задачи».
19.2. Будем предполагать границу С спрямляемой, ' длину дуги на ней обозначим буквами s, о, и все величины, заданные вдоль С, будем рассматривать либо как функции точки t е С , либо как функции параметров s, а. Термин «почти всюду на С»
будет означать, как обычно, почти всюду относительно меры на С, порождаемой параметром s.
S ю ] |
ЗЛДЛЧЛ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ |
Будем для простоты рассматривать случай одыосвязной обла сти G+. Пусть S — длина контура С, и пусть D (s) = D [z (s)J, где z = z (a) — уравнение кривой С. Сформулируем сейчас основ-; ные предположения на коэффициенты D, g краевого услов'ия
(19.1):
I. Функция |D (а) |определена почти всюду на сегменте [0, 5], измерима и удовлетворяет условиям
\D(s)\^Lr, (О, S), \D(s)\~^LT-(0, S), |
г± > 0 .- |
(19.2) |
|
Принимая во внимание, что In я |
я® при любом фиксирован |
||
ном а > 0 и достаточно больших х > |
1 и что |
|In х |^ |
при |
любом фиксированном р > 0 и достаточно малых х > |
0, из пред |
||||||
положения I |
выводим, |
что |
функция |
In |D (s) | принадлежит |
|||
пространству |
Lp (О, S) |
при |
любом 1 < |
р < |
оо. Очевидно, что |
||
условия |
(19.2) выполняются, |
если |
|
|
|
||
|
sup vrai (| D (a) |, |
|D (a) p1} = |
M < |
+ oo. |
(19.3) |
||
|
|
0<s<S |
|
|
|
|
|
Функцию D (а) можно трактовать как некоторое отображение |
|||||||
кривой |
С па |
вполне |
определенное множество в комплексной |
||||
D-плоскости. |
Желая описать это множество с помощью полярной |
системы координат, мы приходим к необходимости выделения однозначной ветви Q (а) многозначной функции Arg D (а). С этой целью зафиксируем в D-плоскости некоторое направление, напри мер положительную вещественную полуось, и проведем разрез, соединяющий точку D = О с бесконечно удаленной. Этот разрез I будем представлять себе непрерывной кривой, не имеющей'точек самопересечения и общих точек с полуосью 0 < D < оо и состоя щей из двух берегов. Теперь аргумент любой точки D ф I можно
определить как угол, |
образованный вещественной |
полуосью |
и радиусом-вектором, |
соединяющим точку D = 0 с |
точкой D. |
Следовательно, для всех тех а е [0, 5], для которых D (а) не лежит на I, однозначно определен угол Q (а). С точки зрения предстояще го анализа задачи (19.1) значения функции D (а) на множестве меры нуль не играют никакой роли. Предполагая поэтому, что D (а) €Е I только на множестве меры пуль, можно-для таких а до
определить функцию Q (а) совершенно |
произвольно |
или |
даже |
|||
оставить ее недоопределенной. |
в некоторой точке |
а„ е |
[0, 5] |
|||
Функция |
Q (а) может |
иметь |
||||
разрыв, даже |
если в этой точке D (а) непрерывна: это происходит |
|||||
в точках пересечения кривой D (а) с разрезом I из-за способа опре |
||||||
деления ветви Q (а). Каждая такая точка характеризуется тем, |
||||||
что существуют значения |
Q (а0 ± |
0) = |
lim Й (а) при а -+• а0 ± 0 |
|||
и что й (а0 — 0) — Я (а0 + |
0) = ± |
2п. |
В самой точке ав можно, |
например, положить й (а0) = Й (а0 + 0). В других точках функ ция й (а) может претерпевать разрыв потому, что в них не непре
190 |
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ |
[ГЛ. V |
рывна функция D (s); |
однако и в этом случае скачки функции |
Й (s) в точках ее раврывов первого рода по абсолютному значе нию не превосходят 2л. Наконец, нетрудно видеть, что при всех s Е= [0, 5] можно предполагать выполненным условие |й (s) |^ < 2 я .
Меняя разрез Z, будем получать различные функции й (s). Мы предположил!, что хотя бы при одиом выборе разреза построен
ная |
функция й (s) удовлетворяет условию |
|
II. Имеет место разложение |
|
|
|
Й (а) = й 0 (s) + Qx(s) + й2 (s), |
(19.4) |
где |
Q0 (s) — непрерывная функция в каждой точке |
замкнутого |
сегмента 10, £], йх (а) — функция ограниченной вариации на сег
менте [0, *?], а й2 (s) — измерилшя на [0, |
*S] |
функция, удовлетво |
||||||||||
ряющая почти для всех s условию |Й2 (а) |
| ^ |
^л, где v •< 1 — не |
||||||||||
которое (иногда достаточно малое) число. |
|
|
|
|
||||||||
В крайних точках s = |
0 и s = |
Sимеется в виду односторонняя |
||||||||||
непрерывность функции |
й 0 (s). Функция |
Йх (s) имеет не более, |
||||||||||
чем счетное число точек |
разрыва |
{$/,}, |
и |
ее |
можно представить |
|||||||
по формуле виде (1.8). Изменяя, если нужно, начало |
отсчета |
|||||||||||
дуги s, можно добиться того, чтобы точка D |
(0) не лежала на Z, |
|||||||||||
так что |
й (0) = й (S), и одновременно |
функция йх (а) была не |
||||||||||
прерывной справа |
в точке |
s = 0. |
Обозначая затем через |
hh = |
||||||||
= йх (sk |
+ 0) — йх (sh — 0), |
к = |
1, 2, . |
|
скачки функции й х (s), |
|||||||
получим для функции |
скачков |
йх (s) |
функции й х (а) |
формулу |
||||||||
й х (0) = |
0, й х (s) = |
S |
Л* + |
1& |
(*) — й х (s — 0)], 0 < s < |
5. |
(19.5) |
|||||
|
|
0<»jc<s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь |
разложение (19.4) можно |
представить в виде |
|
|
|
|||||||
|
Й (а) = |
Й0 (s) + |
йх (в) |
+ |
й 2 (в), |
|
(19.6) |
|||||
где йх (s) построена до |
формуле (19.5), |
Й2 (s) — прежняя, |
а |
не |
||||||||
прерывная на [0, iS] функция й 0 (s) равна сумме й 0 (s) + |
[йх (s) |
— |
||||||||||
— йх (я)]. Для удобства |
иногда буделг считать, что й (s) продолже |
на ^-периодически на все вещественные s.
Предположим, в частности, что D (s) непрерывна на контуре С и отлична от нуля. Тогда выбранная выше ветвь й (s) имеет разрывы первого рода в точках s, соответствующих точкам пере сечения кривой D = D (s) с разревом Z, и скачки в этих точках равны ± 2л. В разложении (19.6) можно положить й 2 (s) = 0, а Й0 (s) может быть построена как однозначная и непрерывная ветвь функции Arg D (s), получающаяся непрерывным продолже нием некоторого значения Arg D (0) при изменении s от нуля