книги / Нерегулярные граничные задачи на плоскости

ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД

231

то оператор А из уравнения (20.26) удовлетворяет условию сжатия

в пространстве		L^ (С); в		частности, ар (D2) =		Рр (2)а) =		0.
Чтобы	сделать		условие	(20.28) эффективно проверяемым, не­
обходимо	указать		оценку	для ||К llL(n)(C ^	Как	отмечалось		в
п. 20.3, при п =		1 эта норма равна единице, если/? = 2.					Поскольку
I		I *ф. W I* *		< S i *■ 5a>(W	I ч ч » 1а<*«		=

то |^|Ь(П)(С ^= 1 при любом целом п. Таким образом, условие

(20.28) в пространстве L^ (С0) при произвольном п >> 1 имеет место при одпом только предположении (20.22).

Допустим теперь, что р 2. Имеют место легко проверяемые неравенства

		(2 ш г)г1'			I'M”.
		4= 1	'	i= l
		2	ы > < п ( 2 ы * г .
		i= i		4= 1	'
Следовательно, полагая фг = К(pi? получим
1 ф £*><« = ] (S I ч><« 1аГ			* < n<M),ai t 1 1K<f>w |Г* <
	< »<’ -«* IК |'„)(&)		S Iф( (Q Г& < «-'«IIк 1'ш(С,)-|<Р|^ч(й)'
				I H g * ,		(20.31)
При 1 <	р < 2 эта оценка легко			устанавливается		переходом к
сопряженному оператору. Второй множитель в правой части
(20.31)	оценивается теперь на основании результатов статьи [15].
20.7.	В условиях		утверждения а) леммы 20.4 однородная зада­
ча (20.17) (g == 0)		при D — D2 имеет ар (Z)2) линейно-независи­
мых решений: V		I ...........	‘I . а =	ар (D2), из класса У *. Пред­
ставляя	каждое	решение (Ь в		виде	столбца с	элементамп

ф; , ф?, . . ф / = 1, 2, . . ., а, получаем матрицу размера

232 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V

а х и . Может случиться, что одна или несколько первых строчек сверху у этой матрицы состоят из одних только нулей. Пусть — первое число, 1 < «х < и, для которого $х-я строка имеет отлич-

(1) (2)

ные от тождественного нуля функции. Среди функций Фв1, Фв1, . .

(а)	имеется максимальное	число ах	0 линейно-неза­
. . ., Фа,
висимых.	Меняя в случае необходимости нумерацию решений,
приходим	О)	<й>	линеино-независимы,
	к выводу, что Фв1,	. . ., ФЯ4

тогда как остальные элементы аг й строки выражаются через них

«>	X, . (1)
в виде линейных комбинаций: Фв1 =	2<?|Фв1, /= а 1 + 1, ... а.
	i=i

Рассмотрим после этого новую систему решений:

Очевидно, эта система решений по-прежпему будет полной и пер­ вые — 1) строк соответствующей матрицы будут сплошь со­ стоять из нулей. В й же строке новой матрицы первые ах функ­ ций будут линейно-независимыми, тогда как оставшиеся элементы этой строки будут тождественными нулями. Можно, таким обра­ зом, считать, что уже исходная система решений обладает описан­

ными	свойствами.
Если ах = а, то дальнейшее преобразование исходной матри­
цы можно приостановить. Если же				< а,	то рассмотрим мат­
рицу,	составленную	из	столбцов-решений		%	при / = а : +
+ 1,	. . . » ос. При этом		< п, поскольку при sx =			п все столбцы
при /	= аг + 1, . . .,	а состояли бы из		одних нулей, что проти­

воречило бы их линейной независимости. Применительно к этой новой матрице можно повторить предыдущие рассуждения. В ре­ зультате мы придем к выводу, что наряду с указанными выше свой­ ствами у исходной матрицы можно предположить также следую­

щие:	существует			число s2,		si <С s2^ л, для которого <b/t = О
при	к =	+	1 ,	. .	$2 — 1 , / =			cci -f- 1, . . ., а;	существует
также число			а2,	0 <	а2 ^	а — ах,		для которого	функции $>в,
при ах +		1 <	/ <	ах + а2 линейно-независимы, тогда как функ­
ции &s, при Oj +				а2 +	1	а	тождественно исчезают. После
конечного числа				т шагов процесс			остановится. При этом а.х +
+ а? + . . . - f a m = a, sm^ п.

$ 20] ТЕОРЕТИКО-ФУЫКЦИОНАЛЪЙЫЙ МЕТОД 233

Рассмотрим системы	функций	(а0 =	1)
0 ')_	а 1 +	•••+	ait ъ —1 ,2 ,... ,т,
« 1 + •••+ a,-_i ^

каждая из которых согласно построению линейно-независима. Следовательно, внутри области G~ можно отыскать такие точки

zii;	что	определитель		матрицы	чисел Ф8{ (zik)		(при	фиксирован­
ном i) отличен от нуля. Общее число точек {z^} равно, очевидно,
a =	<хр	(D2).	Присоединим к однородному условию					(20.17)	(при
g =	0)	дополнительное ограничение
(^ij) = 0,			Oj	^	^ cti -}-	ctj,	i =	1 ,2 ,..., m.
Из	сказанного выше			вытекает				(20.32)
							леммы 20.4		одно-
Л е м м а			20.5. В условиях утверждения а)
родная задача (20.17) (при g == 0) для D = D2								(п)	име­
							в классе Ер
ет единственное (тривиальное) решение, удовлетворяющее усло­
виям (20.32).			Снова предположим, что выполняются условия утверж­
20.8.
дения а) леммы 20.4,				и рассмотрим неоднородную задачу (20.17)
при D = D 2 и g (t) е				(£).	1 < P <	оо. Вместе с уравнением

(20.26) эта задача разрешима тогда и только тогда, когда свобод­ ный член g (<) удовлетворяет условиям вида

Sj (g) =	2 §	(0 Si (0 dt = 0,	/ =	1 ,2 ,..., т	= аР(D0i
(Л , 4	1=1 °					(20.33)
где at (t) — вполне определенные функции из сопряженного про­
странства	Lq (С), q = pi (р — 1).			Предположим,	что	g (t) =
= g+ (г),	где	g+ (z) — некоторая	вектор-функция		из	класса

(п)

Ер. Поскольку в этом случае рассматриваемая неоднородная за­ дача разрешима, имеем Sj (g+) = 0, / = 1, 2, . . ., (5Р (Z)2). В об­ щем случае при помощи интеграла типа Коши представим функцию

g (t) е 4 П) (с ) D виде g+ (t) — g~ it),			где g± (z) e		E f соответст­
венно. Тогда условия (20.33) примут			вид
	=	5 2 ( 0 й ( 0 * = °»	/ = 1 , 2 , . . . , М А О .
	1 = 1	с
Наконец,	каждую	функцию at (t) е	Еч (С)	представим в виде
разности	lFi (t) — % (г), где Ipf (z) е			и	подставим в

234

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. У

последнюю формулу. Учитывая, что каждое произведение Figl имеет на бесконечности нуль по крайней мере второго порядка, и опираясь на теорему Коши, получим эквивалентные условия

- 2	$ $ ? < < ) & ( * > * = 0 .		/ = 1 , 2 , . . . , М В , ) .		( 2 0 .3 4 )
1=1 С		размера п	х а , а = <хр (Z>2) =
Рассмотрим матрицу					Рр ( £ 2).
j-я строка которой имеет		элементы	..........	С помощью

рассуждений п. 20.7 убеждаемся, что эту матрицу можно выбрать

так, чтобы выполнялось следующее:

г2 < . . . <

rt <

п, ро =

Существуют

целые числа 1 < гг <

=

1,

1 < Рх <

р! + Р* < Pi +

Р2 + Рз <

. ••<

Р гЬ

V + P , =

= а =

Р, удовлетворяющие условиям: первые

— 1) столбцов со­

стоят сплошь из

нулей, так же

как и

часть гг-го столбца, отве­

чающая

значениям /

= рх + 1, . . .,

Р;

функции

же

/ =

= 1, 2, . . ., PJ, линейно-независимы. Далее, равны нулю эле­

менты $*при i =

rx +

1, . . .,

г2 — 1, /

=

рх +

1,

. . .,

Р, а так­

же

при

i = г2, ;

= Рх

+- р2 +

1, . . .,

р,

элементы же

при

j =

pit +

1, . . . .

Рх +

рг линейно-независимы. Дальнейшее опи­

сание рассматриваемой матрицы очевидно. Таким образом, каж­ дая система функций (р0 = 1)

Pi + •••+ Pi_i^ ^ Pi + •••+ Pi i = I» 2 , . . . , l,

линейно-независима. Отсюда следует, что существуют такие точки zjfc внутри области G+, что при каждом фиксированном i опреде­

литель матрицы чисел i * (z&), Pi + . . . + Pi-i < /. ^ < P i +

+•••+ Pi» отличен от нуля.

Построим вектор g0по следующему правилу: все его компонен­

ты goJ тождественно равны нулю, если / ф г и i = 1, 2, . . ., I; в том же случае, когда j = гt, положим

Р1+...+Р, с

2	* - 1 - 2 .......
fc=P»+...+Pi-x	ile

где ctk — произвольные комплексные числа. Вычислим теперь значение функционалов Sj на g0. Пользуясь формулой (20.34) и интегральной теоремой Коши, получаем

S.+...+S,

2

К А ) с а,

/ = 1,2, ... ,p. (20.35)

| 20]	ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД			235
Заметим,	что общее	количество точек z&, а следовательно,		и
чисел cik равно р =		рр (D2) =	ар (D2) = а. Опираясь на описан­
ные выше	свойства	матрицы	||F|||, нетрудно убедиться, что оп­

ределитель матрицы, стоящей в правой части (20.35) при перемен­ ных cih, отличен от пуля.

Рассмотрим

теперь

неоднородную задачу

Ф+ (0 =

D2 (t) Ф - (t) +

g(t)

+ g0 (t),

(n>

(20.36)

где

g (t) — произвольный

элемент

пространства

1 < .

Lp (С),

< p <

oo, £0 (£) — построенный выше элемент этого же простран-

ства,

■

<п)+

соответственно. Задача (20.36) разрешима тогда

Ф - е

E f

и только

тогда,

когда

Sj (g +

g„) = Sj (g) + Sj (g0) =

0

для

всех / = 1 , 2 ,

. . ., PP (Z)2).

Из

сказанного выше

вытекает,

что

при

задапном

g е

Lpl) (С)

существует

единственная

система

чисел

удовлетворяющая только что выписанным условиям

разрешимости

задачи

(20.36).

Ясно также, что при дополнитель­

ных условиях (20.32) решение задачи (20.36) единственно.

Л е м м а

20.6. Предположим,"что выполнено утверждение а)

леммы

20.4,

и

g (t) е

1

$ (С), 1 <

р <

оо. Тогда существует

единственная система чисел

определяющая элемент g0 (О»

.

(")+

и единственная кусочно-голоморфная вектор-функция Ф - е Ef, исчезающая на бесконечности, удовлетворяющие условиям (20.36), (20.32).

20.9.Введем следующие обозначения:

		p.+...+pi		l
>•, =		п		I l	i =	1 ,2 ,..
	JMJi+.-.+Pi-.]
Л	-	п		z~ zik	£ =	1,2,.. •t Ml
	/f=ai+...4-а,*_ lz ~~ zoik’
где а 0 = р0 =	1,	zJiit ^	G* zolk е		G~. Пусть ДГ1 (z) — диаго­

нальная матрица, в ;-й строке которой стоит единица, если j Ф г4,

и функция	X*, если /	= г*, г =	1,	2, . . .,	I. Аналогично, пусть
i?2 (z) — диагональная		матрица,	в	й строке которой стоит еди­
ница, если	Ф sit и функция |д,{,			если j =	sit i — 1, 2, . . ., т.

Очевидно, что вектор-функция Ф- удовлетворяет условиям (20.32)

тогда и только тогда, когда она имеет вид Ф“ = Яа Ф", где	(z) е
(п)

е Ер. Кроме того, вектор-функция Ф+ — g0 представима в виде

i?i1S>+, где Ф+ Следовательно, задача (20.32), (20.36),

236	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ		[ГЛ. V
описанная в лемме 20.6, может быть записана в виде
	Ф+ (<) = lh (<) Da (t) R2(f) Ф- (0 +. g (t),		(20.37)
где	e Ер. Заметим также,	что
	а е Ь Л ^ П '- И б - ,	det^a = TTi—ZJL ,
	i , k ~ z4ik

причем в каждом из произведений имеется одинаковое число мно­ жителей, равное <хр (D2). Отсюда следует, что приращение аргу­ мента функции det (RXR2) при обходе граничной кривой С равно нулю. Тев1 самым доказана

Л е м м а 20.7. В условиях утверждения а) леммы 20.4 су­ ществуют непрерывные и непрерывно обратимые на С матрицы с рациональными элементами Rx, R2, удовлетворяющие условию [arg det {RiR2)]c = 0 и такие, что задача (20.37) для любого g{t) €Е Ер (С) всегда и однозначно разрешима в классе функций из

(п).

Ер, исчезающих на бесконечности.

В заключение сделаем несколько дополнительных замеча­ ний. Из очевидных соотношений (D2 Ф, Ф) = 2 А^Ф»®? =

= (АФ, Ф) + i Im (£>аФ, Ф), где h — матрица, определенная формулой (20.20), вытекает, что Re (2?аФ, Ф) = (ЛФ, Ф), следова­ тельно, при выполнении условия (20.22) det D2 (t) ф 0 почти всю­ ду па С. Рассмотрим транспонированную обратную матрицу

D2 (t) и покажем, что ее элементы суть измеримые и в существен­ ном ограниченные функции и что для нее имеет место условие ви­ да (20.22). С этой целью введем обозначение ¥ = D 2l Ф и заметим, что |(£а¥ , ¥)|в^ ( ¥ , ¥)(Ф, Ф), ибо Ф = D 2XY. С другой стороны,

|(£>;¥, ¥ )	|а >| Re (D&, ¥ ) |2 = |(Л'¥,		¥) |3, где Ы- матрица,
транспонированная к первой		матрице	(20.20). Представим
h в виде	U ||Я£б^ II U~x, где	^ — унитарная матрица. Тогда

Л'=.7||^{б^||У_1, где V = U'~\ очевидно, тоже унитарная матри­ ца. Иными словами, матрица U имеет те же собственные числа Яц Я2, . . ., Я^, что и матрица h. Следовательно, из полученных

выше неравенств получаем (¥ , ¥ ) = ф'2 Ф, D2 Ф) < Xjf (ф, ф). Отсюда легко вывести первое из отмеченных свойств матрицы

D2 . Обозначая через ||D (t) |норму матрицы D (/), рассматривае­ мой как оператор в л-мерном евклидовом пространстве, получим

также |D2‘ (t) ||< Я^1.

I 20J	ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД	237

Построим теперь для Di						матрицы вида (20.20)
			h = -L (D C + D?),					H = D?D2 \			(20.38)
Поскольку (Ф,Ф) = (/>2^, D						2 T } f	=		D ' J V ) < \ \ Ъ 2 \\* (Т,Y ) ,
а норма сопряженной матрицы D2совпадает, как известно, с нор­
мой исходной матрицы D2, имеем (Ф,								Ф)	|Dz||2 (*F, Т). С дру­
гой	стороны,		(к Ф,	Ф) =		Re (ДГ'Ф.			Ф) = Re (Т,		.Dj'K) =
= R	e	Т)	= R e(Z )^ , Y) = (A''F, T ) >						Я0(Т, ^.следователь­
но, (к Ф, Ф)а >			Я0 \\DZ(t) |Га (ФАФ). Обозначим через Я0,								Л0 числа
вида	(20.21) для D2 l и				заметим,			что	Л0 = sup vrai ||jb2 (t) ||a,
^			#						c
A0 =	sup vrai ||Z?2 1 (<) ||2-				Из	последнего			неравенства		получаем
		С			D2
условие		вида	(20.22)	для
											(20.39)
Из указанной			выше	оценки		для	||Da-1 (t) || получаем				также
					Л . < ^ - .						(20.40)
Применительно к матрице D2							А°	сопряженном		пространстве
							в
£«Л) (£)>		9 = р/ (р — 1), условие					(20.28)		будет иметь		вид
			Г			, + , г Ь		»	< 1 *		(20.41)
				Л ./			2
Рассмотрим также условие
			( i -	*	Г		2		< 1		(20.42)
			V	л; J
Как известно, норма оператора К в сопряженных пространст­
вах L™ (£„)] и			L,n) (С0) одна			и та же. Условие (20.28) вытекает
из (20.42) вследствие				неравенства Л?				Л0, а условие (20.41) —
вследствие оценок (20.39), (20.40). Это устанавливает одновремен­
но совместимость условий (20.28), (20.41). При р =										2 все эти ус­
ловия вытекают из одного только предположения (20.22).
20.10.		B fусловиях			утверждения а) леммы 20.4						неоднородное
уравнение. (20.26) имеет					решение		тогда		и только	тогда, когда
					g(94i(9<» =			0r			(20.43)

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

[ГЛ. V

где ф (t) — произвольное решение союзного к нему уравнения

	л		4	р [toD' (<о) — Е] ф (<о)
П ) = - 4 - ITА (0 - Е] ф (£)— ± r ^					--------- * (
из сопряженного		пространства	(С),	q — р/(р — 1)- Обозна­
чая через	'¥1(z)	интеграл типа	Коши с плотностью [у0 -^г (0 —
— £]ф (О,	будем 'иметь
		[ТоДз(0 -#Н >(0>			(20.45)
			[ТоР;(<о)--Б]11>(<>)
	ч ? « + * Г Ю —				dto.

Подставляя эти формулы в правую часть (20.44), получаемф (t) =

= — Yj- (г). Теперь из первого соотношения (20.45)			следует, что
кусочно-голоморфная функция Y (z) = Т х (z), z £			G+, VF(z) =
1	(z ),z £ (T , принадлежащая	C5L .'
= —		кл ассам ^ , удовлетворяет
сопряженному граничному условию
	Г* (£) = п Г (г)	(£).	(20.46)
Условие же (20.43) принимает вид
	^ ( 0 ^ +(£)<*£ = 0.		(20.43')

Аналогичный результат будет ниже установлен и в общем слу­ чае. Сейчас же мы ограничимся следующим. Предположим, что матрица D2удовлетворяет условиям (20.22), (20.28) и (20.41). Точки 4 , ztik, входящие в формулы для Ки |л£, всегда можно выб­ рать так, чтобы по модулю функции Xit [хг сколь угодно мало от­ личались от единицы. Тогда матрица R]i)2.R2будет удовлетворять тем же условиям. Запишем теперь неоднородное сопряженное к (20.37) граничное условие

f + (0 =	R? (t) D ? (0 R? {t) % ' (t) + gl (t),	(20.47)
где gx (t) £ L?* (C),	, q = p/(p — 1). Иё	сказанного

выше вытекает, что в классе исчезающих на бесконечности функ­ ций эта задача имеет решение тогда и только тогда, когда g1(0 удовлетворяет условию вида (20.43') с заменой *F+ (£) на произволь­

ное решение $ + однородной задачи (20.37) в классе функций из

?2 0 l ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД

(п).

Ер, исчезающих на бесконечности. В условиях леммы 20.7 задача

(20.47) разрешима всегда, если имеет	место	условие (20.41).
Л е м м а 20.8. Пусть выполнены условия утверждения а) лем­
мы 20.4 и наряду с условиями (20.22),	(20.28)	выполнено также

условие (20.41). Тогда существуют такие непрерывные и непрерыв­ но обратимые па С матрицы с рациональными коэффициентами 7?i, Д2>что имеют место утверждения леммы 20.7 и одновременно

сопряженная	задача (20.47) для любого gx			(t) е= L(,n) (С), q =
=/>/(/> — 1),	всегда и однозначно разрешима е классе функций из
исчезающих на бесконечности.			D 2{t) = Rx {t) D2{t) R2{t)
20.11.	Обозначим	для краткости
и рассмотрим	задачу	= П2(г) [ V (г)
	U* (0		+ Я]	(20.48)

с неизвестной матрицей U± (z), каждый столбец которой исчезает <п)

на бесконечности и принадлежит Ер. В условиях леммы 20.7 эта задача всегда и однозначно разрешима.

Рассмотрим затем сопряженную задачу
U'l = В'г\и'1 + Е)		(20.49)
с неизвестной матрицей	(z), каждый столбец которой исчеза-
	(п).	pi (р — 1).
ет на бесконечности и принадлежит классу Щ у q =

В условиях леммы 20.8 эта задача всегда и однозначно разрешима. Транспонируем равенство (20.49) и умножим затем справа на ра­

венство (20.48).		В результате получаем U\U+ = [Щ + Е) X
X [U~	Е]. Каждый элемент матрицы слева по построению при­
надлежит	а	соответствующий элемент матрицы справа при­

надлежит тому же пространству и представляет аналитическое

продолжение первого черев границу С. Поскольку U~,						Щ исче­
зают па бесконечности, получаем UiU+ =				[U1	+ Е] [U~ + Е) =
=	Е.	Введем обозначения: Х + (z) =	U+ (z),		z e G+,	X~ (z) =
=	£T (z) + £ , z e G~, X? (z) = Ut (z),		z e	G+, XI (z) =		U~! (z) +
+	E, z £ G~. Из предыдущего вытекает, что имеют место следую­
щие свойства:
^	( *	) е 4	q = Р/.(р — 1)»			(20.50)

означающие, в частности, что det X (z) отличен от нуля на всей замкнутой z-плоскости вне кривой С. Из р!ассуждений, анало­ гичных тем, которые приведены в п. 20.4, вытекает, что операторы

^ (i)f l-f+wnrW	u‘'0,	l^,±(0r1^ ' ± W e,W d		(2051)
2iti ) t o — t		2Я£	to—t	v '

240	КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	1ТЛ. V
действуют и непрерывны в сопряженных пространствах		Lp (С),
L9 (С), 'q =	р/(р — 1)» соответственно. Таким образом, справед­
ливо утверждение:
Л е м м а	20.9. Пусть выполнены все условия леммы 20.8. Тогда
существует	кусочно-голоморфная матрица X*1(z), обладающая
свойствами:	Я* (« и * '( 0 Г ;
а) ZM<) =

б) имеют место включения (20.50);

(я) (я)

в) операторы(20.51) ограничены в Lp (С), Lq (С) соответственно.

20.12. Вернемся к рассмотрению общего случая, когда матри­ ца D (t) краевого условия (20.17) имеет вид (20.19). Очевидно,

что в условиях (20.22), (20.28) и (20.41) первоначальные предпо­ ложения о матрицах £>х (£), Ds (t) можно заменить на следующие: их элементы являются рациональными относительно комплексной

переменной t функциями, а обратные матрицы Dlx (t), DZ1(t) существуют и непрерывны при t е= С. Как показывают несложные выкладки, в этих условиях матрицу D (t) можно представить в виде.

D (0 = D+ (О [D- (О!-1,

D+ (t) = Dx (t) R?X+ (t), D~ (t) = D ? (t) R2(t) X - (t).

Каждый элемент матриц D* (z) голоморфен внутри соответствую­ щей области G±, за исключением конечного числа точек, где он может иметь полюс конечного порядка; вблизи же границы С

каждый из них принадлежит классу соответственно. Кроме того, если вместо л * подставить D± соответственно, то операторы (20.51) будут обладать прежними свойствами. Осуществим сейчас некоторую факторизацию матриц D± (z), следуя статье [10, г)].

С этой целью обозначим cfij (z) их общий элемент и в окрестности конечной точки С разложим еТо в ряд Лорана:

dij (z) = d% (z - z0) ^ -Ъ. ..

(многоточие заменяет члены с более высокими степенями). Пусть Pf = min {Ру}, / = 1, 2, . . ., п. Если в точке z0 хотя бы один

элемент <Щимеет полюс, то среди чисел р* по крайней мере одно будет отрицательным. В окрестности бесконечно удаленной точки в этом разложении надо положить z0 = 0, а полюсу будет отвечать положительный показатель степени. В окрестности рас­ сматриваемой точки матрицу (z) можно представить в виде произведения регулярной матрицы на диагональную матрицу с

элементами (z — z0)Pl, . . ., (z — z„)Pn. Поступая аналогично