2.4. Законы сохранения

Применение законов сохранения импульса, энергии и момента импульса необходимо, когда законы взаимодействия тел неизвестны или описание поведения механической системы с помощью уравнений движения приводит к сложным соотношениям, в результате чего получить окончательное решение практически невозможно. Вместе с тем законы сохранения не могут дать однозначного ответа на вопрос о том, что происходит. Но если, исходя из каких-либо других соображений, можно указать, что именно должно произойти, то законы сохранения дают ответ на вопрос, как это произойдет.

Основной задачей механики является отыскание интегралов движения механической системы (совокупности тел), которые можно определить как постоянные при движении функции координат и скорости. Из множества интегралов движения системы выделяют три аддитивных интеграла движения (импульс, энергию и момент импульса), значение которых для замкнутой системы равно сумме значений для каждой части системы в отдельности.

Механическая система, на которую не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю, называется замкнутой системой. Силы воздействия со стороны тел, не принадлежащих системе, называют внешними силами. Внутренние силы это силы взаимодействия тел механической системы.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек называют точку, положение которой определяется радиус-вектором:

.

Связанную с центром масс поступательно движущуюся систему отсчета называют системой центра масс.

При рассмотрении относительного движения изолированной системы двух взаимодействующих материальных точек с массами m и m во внешнем потенциальном силовом поле вводится понятие материальной точки с приведенной массой μ определяемой из равенства:

.

Закон сохранения импульса (количества движения) вытекает из однородности пространства (равноправия всех его точек), для которого параллельный перенос системы в пространстве не изменяет ее механические свойства. Импульс системы определяется как сумма импульсов составляющих его частиц:

= ∑ .

Продифференцировав уравнение для радиуса-вектора центра масс по времени, найдем, что импульс системы выражается через скорость центра масс:

= m ,

где m – масса системы.

Просуммируем уравнения второго закона Ньютона

= для всех точек системы и учтем, что все внутренние силы взаимно уничтожаются:

= ∑ _ВНЕШ

Из данного уравнения следует, что импульс замкнутой системы сохраняется. Это вытекает из условия замкнутости системы, которое гласит, что сумма внешних сил, действующих на тела замкнутой системы, в любой момент времени равна нулю ∑ _i  d t = 0, что приводит к соотношению d = 0, отсюда следует = const.

Импульс незамкнутой системы сохраняется в следующих случаях:

1. Если сумма внешних сил равна нулю.

2. Если результирующая внешняя сила перпендикулярна некоторому направлению, то сохраняется не вектор импульса системы, а проекция импульса системы на это направление.

3. Если взаимодействие продолжается очень короткое время, за которое изменением импульса системы можно пренебречь.

Закон сохранения энергии. Единой мерой различных форм движения с точки зрения их количественной характеристики является скалярная величина Е, называемая энергией. Энергия не исчезает и не возникает, а переходит из одного вида в другой. Работа – скалярная величина А, являющаяся мерой изменения энергии. Работа внешних сил равна изменению энергии А = Е – Е . Работа – способ передачи энергии от одного тела другому в виде силового

Рис. 21

взаимодействия тел, при котором может изменяться любой вид энергии. Работа силы на малом участке пути определяется как скалярное произведение силы и перемещения: dΑ = ( , d ), а работа на всем пути равна:

где F – проекция силы на направление движения точки ее приложения, а α – угол между силой и этим направлением. Работа и энергия измеряются в джоулях (Дж = Н · м).

Мощность. Средняя мощность – отношение работы к интервалу времени. Мгновенная механическая мощность равна

N = = = ( , ) = F · v.

Мощность измеряется в ваттах (Вт = ).

Кинетической энергией Ек называется энергия, связанная с движением тела и зависящая от его скорости. Скорость тела изменяется под действием результирующей силы , работа которой равна

A = F d r = m a v d t = m v d t = m = = m -

Видно, что кинетическую энергию можно определить как Ек = . Полученное тождество, утверждающее, что изменение кинетической энергии равно работе результирующей силы, называют теоремой об изменении кинетической энергии.

Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий всех точек системы и равна:

Ек = + Е ,

где m – масса системы, – скорость ее центра, Е – кинетическая энергия в системе центра масс (теорема Кенига).

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на ее точки.

Консервативные силы. Сила взаимодействия между точками называется консервативной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения точек, но не зависит от траектории их перемещения (сила упругости, сила тяжести). Силы, не удовлетворяющие этому условию, называют диссипативными (сила трения, сила сопротивления). Поле консервативных сил взаимодействия, создаваемое неподвижными внешними источниками, является потенциальным полем (поле тяготения, электростатическое поле).

Потенциальная энергия. Потенциальная энергия характеризует взаимодействие между материальными точками и зависит от их взаимного расположения. Разность потенциальных энергий для двух положений точки определяют как работу поля по ее переносу из одного положения в другое:

Еп (r ) – Eп ( r ) = A .

Следовательно, изменение потенциальной энергии п = Eп ( r ) - Еп (r ) = - A равно работе сил поля, взятой с обратным знаком с точностью до константы. Однозначное определение значения возможно, если задана величина потенциальной энергии в какой–то точке пространства или задана точка с нулевой потенциальной энергией.

Например, работа силы тяжести при перемещении точки массой m с высоты h на высоту h равна (m h – m h ). Отсюда следует, что потенциальная энергия точки в поле тяжести равна Еп = m h, где высота отсчитывается от выбранного нулевого уровня.

Работа силы упругости равна

(- k x) d x = · k x - · k x ,

где x , x - начальная и конечная деформации пружины. Следовательно, потенциальная энергия упругой пружины равна Еп = kx², где за нуль принята энергия недеформированной пружины.

Работа сил трения, сопротивления отрицательна как на каждом участке пути, так и вдоль замкнутой траектории. Так как сила трения и скорость точки имеют противоположные направления, работа силы трения на каждом участке пути отрицательна:

d A = (  d r) =(  ) d t = - F v d t

Силы трения - типичные диссипативные силы.

Для двух близких точек на одной оси x разность потенциальных энергий определяется соотношением Eп (x) – Eп (x + d x) = F d x. Следовательно, проекция силы на произвольное направление выражается через производную от потенциальной энергии F = - . Получаем, что вектор силы равен градиенту потенциальной энергии:

= - ( ) = - grad Eп.

Для центрального поля проекция силы равна Fr = - .

Механическая энергия системы Е определяется как сумма ее кинетической энергии Ек, потенциальной энергии взаимодействия между частицами внутри системы Еп и потенциальной энергии во внешнем поле Еп :

Емех = Ек + Еп + Еп ,

где сумма (Ек + Еп ) определяет собственную механическую энергию системы.

Изменение кинетической энергии равно работе всех сил (консервативных и неконсервативных), приложенных к точкам системы: ∆ Εк = A + A .

Изменение потенциальной энергии равно работе всех консервативных сил (внутренних и внешних, включая работу потенциальных полей), взятой с обратным знаком:

∆ Εп = - A .

Получается, что изменение механической энергии равно работе всех неконсервативных сил: ∆ Ε = ∆ Εк + ∆ Εп = A .

Полная энергия, кроме механической энергии, включает в себя также различные виды внутренней энергии: тепловую, химическую, ядерную. Общий принцип сохранения энергии вытекает из однородности времени, означающего независимость законов движения от выбора начала отсчета времени.

Закон сохранения энергии гласит: полная энергия замкнутой системы сохраняется, и при этом механическая энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной.

Закон сохранения момента импульса. Моментом импульса материальной точки относительно центра О называют векторную величину:

= [ , ],

где – радиус-вектор материальной точки, проведенный из центра О, – импульс точки.

Момент импульса - одна из мер механического движения точки или системы. При движении с постоянной скоростью момент импульса не меняется. Модуль момента импульса равен L = p  r sin α = p  d, где α – угол между импульсом и радиусом - вектором, d – расстояние между центром О и линией импульса, которое называют плечом импульса.

Моментом импульса точки относительно оси z называется проекция L на эту ось момента импульса относительно любой точки на этой оси. Момент импульса относительно оси определяется проекцией импульса точки на плоскость, перпендикулярную к оси. Если разложить и на параллельную и перпендикулярную составляющие к оси, соответственно,

= + и = + ,

то составляющие, параллельные оси, не дадут вклада в проекцию момента импульса на ось.

Следовательно, L = [ , ] . Модуль момента относительно оси также равен произведению импульса на плечо.

Производная по времени от момента импульса материальной точки относительно центра О равна:

= [ ] + [ ] = [ , ] + [ , ] = ,

где - момент результирующей силы относительно центра О (слагаемое [ , ] = 0 в силу параллельности векторов и ).

Момент силы относительно центра О определяется равенством:

= [ , ],

где – радиус-вектор точки приложения силы . Момент силы не меняется при перемещении силы вдоль линии ее действия.

Рис. 22

Момент силы, векторная величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии ее на твердое тело. Модуль момента равен

M = F r sin α = F l, где α – угол между силой и радиусом – вектором, l – расстояние между центром О и линией действия силы, которое называют плечом силы.

Моментом силы относительно оси z называют проекцию М на эту ось момента сил относительно любой точки на этой оси. Аналогично свойствам момента импульса, момент силы относительно оси определяется проекцией силы точки на плоскость, перпендикулярную оси: М = [ ] . Модуль момента относительно оси равен произведению силы на плечо.

Рис. 23

Моментом импульса системы материальных точек относительно центра О называется геометрическая сумма моментов импульса материальных точек, составляющих эту систему. Момент импульса системы равен:

= [ , ] + _ОТН,

где – момент импульса в системе центра масс. Суммируя уравнения

= = + по всем точкам системы и учитывая, что суммарный момент внутренних сил равен нулю, получим

= ,

то есть производная по времени от момента импульса системы равна суммарному моменту внешних сил .

Закон сохранения момента импульса замкнутой системы выводится из условия, что импульс внешних сил для замкнутой системы равен нулю ( dt = 0). При этом приращение момента импульса d = 0, а момент импульса замкнутой системы сохраняется =const. Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом, отражающим изотропность пространства, то есть равноправие всех его направлений. Как и в случае законов сохранения импульса и энергии, действие закона сохранения момента импульса выходит за пределы ньютоновской механики, в рамках которой он был выведен.

Момент импульса незамкнутой системы сохраняется в следующих случаях:

1. Если суммарный момент внешних сил = 0.

2. Если момент импульса внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то момент импульса относительно этой оси сохраняется.

Рассмотрим упругое столкновение тел.

Столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию, называется абсолютно упругим ударом. В данном случае выполняются законы сохранения импульса и механической энергии. В случае неупругого удара закон сохранения импульса выполняется, а механическая энергия не сохраняется.

Задачи на эту тему решаются с использованием этих законов.

Пример 1. Найти конечные скорости и упругих шаров массой m и m после центрального удара, если их скорости до удара равнялись и ₂, соответственно.

Решение: При центральном ударе упругих шаров сохраняется и импульс системы, и ее механическая энергия:

,

.

Вместо второго уравнения удобно использовать условие, что относительная скорость шаров не меняется по величине, но изменяет свой знак: v . Это уравнение можно вывести из первых двух, но оно становится очевидным при переходе в инерциальную систему центра масс. В этой системе отсчета полный импульс системы равен нулю, и после удара скорости шаров просто меняются на противоположные. Решая два линейных уравнения, находим конечные скорости шаров:

, .

При упругом ударе о движущуюся стенку ( >> ) получим

, u .

Пример 2. Два шара массами m и m , летящие со скоростями и , соответственно, навстречу друг другу, неупруго соударяются. Найти количество выделившегося тепла Q.

Решение: После абсолютно неупругого удара шары движутся поступательно с одинаковой скоростью , то есть как одно составное тело без вращения, если удар центральный. Скорости сравниваются в результате действия неконсервативных сил, то есть при неупругом ударе обязательно выделяется тепло Q. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью закона сохранения импульса конечную скорость шаров: , после чего вычислим уменьшение механической энергии:

.