2.5.Динамика абсолютно твердого тела

Плоское движение твердого тела является суперпозицией поступательного движения центра масс и вращательного движения в системе центра масс. Движение центра масс описывается вторым законом Ньютона и определяется результирующей внешней силой. Вращательное движение подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела:

= ∑ = ∑ [R , m ] = ω ∑ m  R ² = I  ω,

где L - момент импульса точки тела относительно оси, R - расстояние от точки m до оси вращения, v = ω · R - линейная скорость вращения точки при угловой скорости вращения тела ω. Направление проекции совпадает с направление угловой скорости ω. Величина

I = ∑ m  R ² = ∫ R ² d m

называется моментом инерции твердого тела относительно оси z .

Таблица 4

Моменты инерции некоторых однородных тел простейшей формы.

Тело	Положение оси	Момент инерции
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось, перпендикулярна к стержню и проходит через его середину
Тот же стержень	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
Полый тонкостенный цилиндр радиуса r и массы m	Ось цилиндра	mr^2

Продолжение табл. 4

Сплошной цилиндр (диск) радиуса r, массы m	Ось цилиндра
Шар, радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара

Продифференцировав уравнение для момента импульса твердого тела по времени и учтя, что = , где - момент внешних сил относительно оси вращения z получим:

=  ε,

где = – угловое ускорение. Это уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна:

E к = = ω² ∑ m _i R _i ² = I ω².

При движении тела массой m поступательно со скоростью (скорость центра масс) и при одновременном вращении тела вокруг мгновенной оси с угловой скоростью полная кинетическая энергия твердого тела определяется как

E к = + I ω²,

где I - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс тела.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил идет на приращение кинетической энергии, так как потенциальная энергия тела не изменяется:

d A = d Eк = d ( = I ω d ω = M ω d t = M ( ) d t = =M dφ, где φ – угол поворота тела.

В случае постоянной величины момента сил = const, полная работа внешних сил при повороте тела на угол φ вычисляется в процессе интегрирования от нуля до φ и равна:

А = ( , dφ) = M φ,

где dφ = d t.

Момент инерции – скалярная аддитивная величина, характеризующая распределение массы тела по отношению к оси вращения. Момент инерции является мерой инертности твердого тела по отношению к вращательному движению и играет ту же роль, что масса для поступательного движения тела.

Теорема Штейнера: момент инерции I тела относительно произвольной оси вращения z равен сумме момента инерции I относительно оси, параллельной оси z и проходящей через центр масс данного тела, и величины m d ²:

I = I + m d ²,

где m – масса тела, d – расстояние между осями.

Теорема о взаимно перпендикулярных осях: момент инерции плоского тела I относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов инерции I и I относительно двух взаимно перпендикулярных осей x и y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z:

I = I + I .

Каждое тело независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.

Свободной осью вращения тела называется ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствии внешних сил.

Главными осями инерции любого тела являются три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые могут служить свободными осями.

Главными моментами инерции тела считаются моменты инерции относительно главных осей инерции.

Без воздействия извне, устойчивым является вращение вокруг главных осей, соответствующих максимальным и минимальным значениям момента инерции. В общем случае для однородного тела (асимметричного волчка) главные моменты инерции различны: I ≠ I ≠ I . Для тела с осевой симметрией (симметричный волчок) два главных момента инерции имеют одинаковые значения, третий, же, вообще говоря, отличен от них: I = I ≠ I . В случае тела с центральной симметрией (шаровой волчок) все три главных момента инерции одинаковы: I = I = I . Зная главные оси инерции и моменты инерции относительно этих осей, можно определить момент инерции тела относительно любой оси. Моменты инерции тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально.

В табл. 5 дано сопоставление величин и уравнений динамики поступательного и вращательного движений твердого тела.

Таблица 5

Поступательное движение	Вращательное движение (относительно неподвижной оси вращения z)
m - масса	I – момент инерции
= m - импульс	= [ , ] – момент импульса = [ , ] = I ω
- сила	= [ , ] – момент силы = [ , ]
= m = m	= I =
dt– импульс силы	dt – импульс момента силы
Ек =	Eк =
∑ (m ) = const – закон сохранения импульса	∑ (I ) = const – закон сохранения момента импульса
dA= dEк = d( )=Frdr A = -	dA = dEк = d ( ) = М  dφ A = -

Рассмотрим задачи, связанные с динамикой твердого тела.

Пример 1. К концу нити, намотанной на блок c моментом инерции I и радиусом R, привязали тело массой m и отпустили. Найдите ускорение тела.

Решение: Запишем второй закон Ньютона для тела: = + ma = mg – T, и уравнение динамики вращающегося тела относительно оси вращения z для блока:

TR = I .

Так как нить по блоку не проскальзывает, то учтем также кинематическое соотношение а = R. Решая эти уравнения, получим

а = .

П ример 2. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой m относительно оси, проходящей через центр масс шара.

Решение:

Момент инерции слоя (диска):

Рис.24

С ледовательно:

Масса шара:

П

Рис. 25

ример 3.

Выведите формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса муфты равна m, внутренний радиус r, внешний R.

Решение:

Разобьем цилиндр радиуса R на концентрические слои толщиной dr . Пусть радиус какого-то слоя r, тогда масса частиц, заключенных в этом слое, будет:

Представим, что весь цилиндр разбит на такие слои; тогда момент инерции всего цилиндра будет равен сумме бесконечно малых моментов или момент инерции всего цилиндра: