Объем построенного нами тела равен
Vn = ∑n S(ci )∆xi .	(2.29)
i=1
Если разбиение отрезка [a,b] достаточно	мелкое, то объем

построенного тела близок к объему данного тела. Поэтому, если неограниченно измельчать разбиение отрезка и при этом для каждого разбиения искать приближенный объем Vn по формуле (2.29), то предел, к

которому стремится Vn при n → ∞ и max ∆xi →0 , считают равным объему

1≤i≤n

V данного тела. Указанный предел существует, т.к. Vn – интегральная сумма для непрерывной на [a,b] функции S(x), а предел интегральной суммы равен

определенному интегралу ∫b S(x)dx . Получаем формулу

a

V = ∫b	S(x)dx .	(2.30)
a

Формула (2.30) легко применима для вычисления объемов тел вращения.

	2.1.8.5. Объем тел вращения
	Рассмотрим	криволинейную
	трапецию и образуем в пространстве
	тело, вращая эту трапецию вокруг оси
	Ox (рис. 2.24).
	Получим	тело	вращения,
	зажатое между	плоскостями x = a ,
	x = b . Для любого x [a,b]		сечением
	этого тела плоскостью, проходящей
Рис. 2.24	через точку x параллельно плоскости

yOz , является круг с центром в точке x и радиусом, равным |f(x)|. Площадь этого сечения S(x)=π(f (x))2 dx .

По формуле (2.30) объем Vx этого тела вращения определяется равенством

	Vx =π∫b (f (x))2 dx .			(2.31)
			a
Пример 2.19. Найти объем тела,
образованного вращением вокруг оси Ox
фигуры, ограниченной осью Ox , прямой
x = 3 и параболой y =			.
		x +1
Изобразим тело		в системе xOyz
(рис. 2. 25).

Для вычисления объема этого тела

Рис. 2.25

70

применим формулу (2.31), в которой a = −1, b = 3, f (x)=

x +1 . Получим

3

2

3

x2

3

=

Vx =π ∫

( x +1) dx =π ∫(x +1)dx =π

2

+ x

−1

−1

(−1)

−1

3

2

2

=π(4 + 4)=8π (куб. ед.).

−

=π

2

2

+ (3 − (−1))

y

y=ex

y=x

Пример 2.20. Найти объем тела,

образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры,

ограниченной

графиком

функции

y = ex ,

осью

Oy и прямыми

y = x и

x =1

(рис. 2.26). Очевидно, данное тело имеет

внешнюю и внутреннюю поверхности,

O

x

образованные

вращением линий

y = ex

и

y = x

соответственно. Объем такого тела

z

равен

разности

двух

объемов,

Vx =Vx1

−Vx2 ,

где Vx

– объем тела, полученного вращением

Рис. 2.26

1

криволинейной

трапеции,

ограниченной

линиями

x = 0 , x =1,

y = 0

и

y = ex ,

а Vx2

-

объем конуса,

полученного

вращением треугольника, ограниченного линиями x = 0 , x =1,

y = 0 ,

y = x .

По формуле (2.31)

= π∫1 (ex )2 dx,

Vx2 = π∫1 x2 dx ;

Vx1

и

0

0

V = π

1

(e2 x − x2 )dx =

2 x

− x

3

1

2

− e

0

3

0

3

∫

π e

= π e

− 1 −

=

3

0

2

3

0

2

e2 −1

−

1

1

e

2

−

5

=π

2

=π

2

6

≈ 9 (куб. ед.).

3

Рассмотрим теперь тела вращения вокруг оси Oy . Если вокруг оси Oy

y

вращается

криволинейная

трапеция,

d

ограниченная

прямыми

y = c ,

y = d

x=g(y)

(c <d ),

осью

Oy

и

графиком функции

x = g(y)

( g(y)≥ 0

на

отрезке

[c;d]),

то

c

получим

тело вращения

вокруг оси

Oy

O

x

(рис. 2.27) такого же типа, как тело на рис.

2.24, но у которого поменялись ролями

z

Рис. 2.27

переменные x и y .

Поэтому объем Vy

данного тела

вычисляется по формуле, аналогичной формуле (2.31):

71

Vy = π∫d (g(y))2 dy .

(2.32)

c

Пример 2.21. Найти объем тела,

полученного вращением вокруг оси Oy фигуры,

ограниченной графиком функции

y = arccos x ,

осью Ox и осью Oy , рис. 2.28.

Чтобы найти объем Vy

тела, воспользуемся

формулой

(2.32), в

которой

c = 0,

d =

π

, а

x = g(y)

2

функцию

найдем

из

уравнения

y = arccos x , т.е. x = cos y .

Получаем

Рис. 2.28

π

π

1

+ cos 2y

π

sin 2y

π

2

2

(cos y)

2

dy =

2

=

Vy =π ∫

dy =π ∫

y +

0

0

2

2

2

0

=

π

π

+

sin π

=

π 2

≈ 2,9 (куб. ед.).

2

2

2

4

2.1.9.Физические приложения определенного интеграла

2.1.9.1.Вычисление работы

Вначале второй главы расматривалась задача о работе переменной силы F(x) по перемещению материальной точки вдоль оси Ox от точки a до

точки b. Была получена формула (2.4′)

A = ∫b F(x)dx .

a

Задача. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь

основания которого	S = 4000 см2,	а высота H =50	см, плавает на
поверхности воды.	Какую работу	нужно затратить,	чтобы вытащить

поплавок на поверхность? (Плотность дерева ρд = 0,8 смг3 ).

Изобразим сечение поплавка и направим ось Ox по оси симметрии сечения (см. рис. 2.29).

72

Рис. 2.29

Обозначим высоту погруженной части через h (см), а точку сечения, совпадающую с точкой О в начальном положении поплавка, обозначим M . Чтобы вытащить поплавок на поверхность, нужно переместить точку M по оси Ox от точки x = 0 до точки x = h . При этом нужно приложить силу, не меньшую чем та сила, которая тянет поплавок вниз. Пока поплавок не вынут из воды на него действуют две силы: сила тяжести ( Fтяж ) и сила Архимеда

( Fарх ). Очевидно, сила тяжести равна весу тела, т.е. Fтяж = mg = ρдVg , где V -

это объем тела, т.е. Fтяж = ρд S H g . Сила Архимеда равна весу вытесненной телом воды. Если точка M расположена на расстоянии, равном x от поверхности воды (см. рис. 2.29), то погруженная часть поплавка имеет

высоту	( h − x ),	поэтому объем вытесненной воды				Vв	= S (h − x).
Соответственно		вес	вытесненной	воды равен	ρвVв g , где	ρв	– плотность
воды, то	есть Fарх		= ρв S (h − x)g .	Суммарно,	учитывая направление сил,

получим, что тело тянет в воду сила F(x)= Fтяж − Fарх = Sg(ρд H − ρв (h − x)). Найдем начальную глубину h погружения поплавка. Так как вначале поплавок плавает, то при x = 0 Fтяж = Fарх , т.е. F(0)= Sg(ρд H − ρв h)= 0,

ρ

откуда ρдH = ρвh и h = ρд H . Подставим найденное h в формулу F(x),

в

получим

ρ

д

F(x)= Sg

ρ

H − ρ

H − x

= Sgρ

x .

д

в

в

ρв

Теперь по формуле (2.4′), где a = 0 , b = h , находим работу:

h

x2

h

Sgρв h2

A = ∫Sgρв xdx = Sgρв

0

=

.

2

2

0

Подставив в формулу работы h =

ρд

H , получаем

A =

Sgρд2 H 2

.

ρв

2ρв

73