1.8.Интегралы от некоторых иррациональных выражений

I. Рассмотрим интеграл ∫R(x, xmn , , xrs )dx , где R – рациональная функция

своих аргументов, т.е. функция, в которой с аргументами производятся лишь действия: сложение, умножение, деление и умножение на константу.

Пусть k – общий знаменатель дробей mn, ,rs или наименьшее общее кратное чисел n, ,s . Сделаем подстановку:

x = tk , dx = ktk −1dt ( mn k, , rs k - целые числа).

Тогда каждая дробная степень x выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t .

1

Пример 1.37. Вычислить интеграл ∫

x2

dx .

3

x4

+1

Общий знаменатель дробей

1 ,

3

равен 4; поэтому делаем подстановку

x = t4 ,

dx = 4t3dt , тогда

2

4

1

t2 (t3 +1)

x2

t2

3

t5 + t2 − t

2

t2

∫

dx = 4∫

t

dt

= 4∫

dt

= 4∫

−

dt =

3

t

3

+1

t

3

+1

t

3

+1

t

3

+1

x

4

+1

t2

t2

t3

4

3t

2

2

2

= 4∫ t

−

dt = 4∫t

dt −

4∫

dt = 4

−

∫

dt =

t

3

+1

t

3

+1

3

3

t

3

+1

t

3

4

4

3

3

= 4

−

ln

t

3

+1

+ C

=

4

− ln

x

4

+1

3

3

3

x

+ C .

Пример 1.38. Вычислить интеграл ∫1 +6 3x xdx .

В подынтегральной функции присутствуют корни шестой и третьей степени. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 6 равно 6. Поэтому вводим замену

x = t6 , dx = 6t5dt , 3 x = t2 .

Тогда

t

t6

∫

6

x

dx = ∫

6t5dt = 6∫

dt .

3

1 + t

2

1 + t

2

1 +

x

Поделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, будем иметь

∫1 +6 3xxdx = ∫ t4 −t2 +1 −1 +1t2 dt = ∫t4 dt − ∫t2 dt + ∫dt − ∫1 +dtt2 =

35

= t5	− t3	+ t − arctg t + C .
5	3

Возвращаясь к переменной x (t = 6 x ), окончательно получим

∫1 +6 3xxdx = (6 5x )5 − (6 3x )+ 6 x − arctg 6 x + C .

II.Рассмотрим теперь интеграл вида

	ax + b m n		ax + b r s
			, ,
∫R x,					dx .
	cx + d		cx + d

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

ax + b = tk , cx + d

где k – общий знаменатель дробей m/n, . . . , r/s. Пример 1.39. Вычислить интеграл ∫ xx+ 4 dx .

Здесь только одна дробная степень (x + 4)1/2.

Делаем подстановку x + 4 = t2 ,

x = t2 − 4 , dx = 2tdt . Тогда

t2

t2

− 4 + 4

4

dt

x + 4

∫

dx = 2∫

dt = 2∫

dt =

2∫ 1 +

dt = 2∫dt

+ 8∫

=

x

t

2

− 4

t

2

−

4

t

2

− 4

t

2

− 4

t − 2

− 2

= 2t + 2ln

+ C =

t =

+ 2ln

x + 4

+ C .

x + 4

= 2

x + 4

t + 2

x + 4 + 2

dx

Пример 1.40. Вычислить интеграл

.

∫3

(2x +1)2 −

2x +1

Под интегралом присутствуют корни третьей и второй степени. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 2 равно 6. Поэтому вводим замену

2x +1 = t6 , 2dx = 6t5dt , dx = 3t5dt .

Выразим через t корни в знаменателе:

3 (2x +1)2 = t4 , 2x +1 = t3 .

Подставляя замену в первоначальный интеграл, получаем

∫

dx

= ∫

3t5dt

=3 ∫

t2 dt

=3

∫

t2 −1 +1

dt =

t

4

− t

3

t −1

t −1

2

3

2x +1

(2x +1) −

36