Вопросы и задания для самоконтроля

1. Какие из перечисленных интегралов можно найти только с помощью формулы интегрирования по частям:

1)∫xsin x ,

2)∫cos3xdx ,

3)∫ln(x + 2)dx ,

4)∫ x2 +dxx +1 .

2.

Какой вид имеет разложение функции

3x − 2

и простейшие

(x2 +3)(x +5)

рациональные дроби?

3.

Каким свойством должна обладать функция f (x),

чтобы ∫b

f (x)dx

можно было вычислить по формуле Ньютона-Лейбница?

a

4.

Что такое универсальная подстановка?

5.

Какой вид примет 16

dx

при замене переменной

x = t 2 (t =

)?

x

∫4 5 + x +

x

6.

Исследуйте несобственный интеграл +∞

dx

на сходимость.

∫4

x2 −1

7.Чем отличаются формулы интегрирования по частям в неопределенном и определенном интегралах?

8.Какие из перечисленных интегралов являются несобственными:

	1) ∫2	dx	,
		x +3
	1

2)∫2 dx ,

1 3x − 4

3)∫2 (x −1)dx ,

1

4) ∫2 ex−2 dx ,

1

5)∫2 dx .

1 x −1

9.Какую замену переменных нужно сделать в ∫sin 4 x cos5 xdx ?

10. Что представляет из себя неограниченное измельчение разбиения области D на плоскости?

11. Перейти от двойного интеграла ∫∫ f (x, y)dxdy к повторному, если

D

область D ограничена прямыми x = 2 , x = 4 , x + y = 5 и параболой y = x2 + 6 .

160

12.	Перейти в двойном интеграле		∫∫ f (x, y)dxdy	к полярным
			D
координатам, а затем записать его в виде повторного интеграла. Область D
ограничена прямыми y = x , 3y = x и окружностью (x −1)2 + y2				=1.
13.	В виде какого двойного интеграла можно записать объем тела,
ограниченного параболоидом z = 4 − x2 − y2		и плоскостью xOy ( z = 0 )?
		∫4 dx	3−1 x
14.	Вычислить повторный интеграл		∫2(x + y)dy . Поменять порядок

2 1

интегрирования, снова вычислить, ответы должны быть одинаковыми.

15.Что такое якобиан и чему он равен при переходе к полярным координатам.

16.Как записывается интегральная сумма для функции u = f (x, y, z) и

тела V в пространстве?

	17. Как выглядит интегральная сумма для функции f (x, y) на кривой L
при отыскании криволинейного интеграла I рода.
	18. Перейти от криволинейного интеграла	∫xydl	к определенному, если
		AB
	- это дуга кубической параболы y = x3 , A(1,1),	B(2,8).
AB
	19. Вычислить криволинейный интеграл II рода		∫(x − 2y)dx + xydy , если
			AB
	- это дуга параболы y = x2 +3x от точки A(1;4)	до точки B(2;10).
AB

20. Перейти от криволинейного интеграла по замкнутому контуру ∫(x − 2y)dx к двойному интегралу с помощью формулы Грина. Вычислить полученный двойной интеграл, если контур – это треугольник ABC , где

A(1;2), B(3;2), C(3;1).

21.	Восстановить функцию z = u(x, y)	по ее полному дифференциалу
dz = 6xydx +3x2 dy , и сделать проверку.
22.	Как выглядит криволинейный	интеграл II рода по дуге

пространственной кривой?

161

Оглавление

Введение……………….……………………………………...	3
Глава 1. Неопределенный интеграл……………….…………….……	3
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл……….………	3

1.2.Таблица интегралов…………………………………….…… 6

1.3Интегрирование методом подстановки или замены

переменной……………………………………….………….. 9

1.4.Интегралы от некоторых функций, содержащих в

	знаменателе квадратный трехчлен…………….……………	15
1.5.	Интегрирование по частям	20
1.6.	Интегрирование рациональных
	функций……………………………...……………	26

1.7.Разложение правильной рациональной дроби на

простейшие дроби…………………………………………… 28

1.8.Интегралы от некоторых иррациональных дробей……….. 35

1.9.Интегрирование некоторых тригонометрических

выражений…………………………………………….……… 37

Глава 2. Определенные и несобственные интегралы……….………. 42

2.1.Определенный интеграл……………………………..……… 42

2.1.1.Задачи, приводящие к понятию определенного

интеграла…………………………………………………. 42

2.1.2. Определение определенного интеграла…………...…… 44

2.1.3.Свойства определенного интеграла…………………….. 45

2.1.4.Интеграл с переменным верхним пределом……...……. 50

2.1.5.Формула Ньютона-Лейбница…………...………...…….. 51

2.1.6. Замена переменной в определенном интеграле…..…… 53

2.1.7.Интегрирование по частям в определенном

интеграле………………………………………………..... 55

2.1.8.Геометрические приложения определенного

интеграла…………………………………………………. 56

2.1.8.1.Вычисление площадей в прямоугольных

координатах…........................................................ 56

2.1.8.2.Площадь криволинейного сектора в полярной

системе координат………………………………………… 62

2.1.8.3. Вычисление длины дуги плоской кривой……… 65

2.1.8.4.Вычисление объема тела по площадям

параллельных сечений…………………………... 69

2.1.8.5.Объем тел вращения……………..……………… 70

2.1.9. Физические приложения определенного интеграла...… 72

162

2.1.9.1.Вычисление работы……………………………... 72

2.1.9.2. Вычисление пути по известной скорости……… 74

2.2.Несобственные интегралы…………………………………. 74

2.2.1.Несобственные интегралы I рода…………...………….. 75

2.2.2. Несобственные интегралы II рода………………………	79
Глава 3. Кратные и криволинейные интегралы……………………..	82

3.1.Двойные интегралы. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла……………………………………..…… 82

3.1.1.Задача об объеме цилиндрического тела……………..... 82

3.1.2.Задача о массе неоднородной пластинки………...…….. 83

3.1.3Определение двойного интеграла………………..…….. 85

3.1.4. Свойства двойного интеграла……………...…………… 86

3.1.5.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат……………………………………………..….. 86

3.1.6. Замена переменных в двойном интеграле…..…….…… 92

3.1.7.Двойной интеграл в полярной системе координат…..... 94

3.1.8.Приложение двойного интеграла………………..….….. 98

3.1.8.1.Вычисление объемов………..…………….…….. 98

3.1.8.2. Вычисление площади плоской фигуры……...… 101

3.1.8.3.Вычисление площади поверхности в пространстве………………………………...…… 102

3.1.9.Механические приложения двойного интеграла…..….. 105

3.1.9.1.Вычисление массы плоской фигуры……...……. 105

3.1.9.2Вычисление моментов и координат центра масс плоской фигуры…………………………………. 106

3.2.Тройные интегралы…………………………………………. 112

3.2.1.Определение тройного интеграла…………...………….. 112

3.3.Криволинейные интегралы (I рода).……………..…………. 118

3.3.1.Определение криволинейного интеграла по дуге I

рода……………………………………………………….. 118

3.3.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода..……… 121

3.3.3.Механические приложения криволинейного интеграла

I рода……………………………………………………… 127

3.4.Криволинейные интегралы II рода (по координатам)…….. 132

3.4.1.Определение криволинейного интеграла по дуге II

рода...................................................................................... 132

3.4.2.Вычисление криволинейного интеграла II рода…...….. 135

3.4.3.Приложения криволинейного интеграла II рода...…….. 142

3.4.3.1Вычисление площади плоской фигуры………... 142

3.4.3.2Вычисление работы переменной вектор-силы.... 145

3.4.4.Формула Грина………………………………………...… 146

163

3.4.5.Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования…………………………………………... 150

3.4.6.Восстановление функции по ее полному

дифференциалу...................................................................	156
Вопросы и задания для самоконтроля………….………….....	159
Заключение …………….……………………………………...	160

Учебное издание

Дементьева Александра Марковна Артыщенко Степан Владимирович Попова Виктория Анатольевна

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебное пособие для студентов заочной формы обучения всех специальностей

Редактор Аграновская Н.Н. Подготовка оригинал-макета Московченко В.В.

Подписано в печать 06.12.2010. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. л. 10,25. Усл.-печ. л. 10,26. Бумага писчая. Тираж 410 экз. Заказ №

Отпечатано: отдел оперативной полиграфии Воронежского государственного архитектурно-строительного университета 394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84