2.1.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть для вычисления ∫b f (x)dx при отыскании первообразной функции

a

f (x) нужно применить формулу интегрирования по частям в

неопределенном интеграле
∫udv = uv − ∫vdu .					(2.18)
Теорема. Если функции u(x) и v(x) непрерывны на отрезке [a b;]
вместе со своими производными	u (x) и v (x), то справедлива формула
			′	′
∫b udv = uv			b	+ ∫b vdu .	(2.19)
a			a	a

Доказательство. Очевидно, по формуле Ньютона-Лейбница (с учетом формулы (2.18)) имеем

b udv = (		udv)	b = (uv −	∫	vdu)	b =uv	b − (		vdu)		b ,
∫	∫		a			a	a	∫			a
a

и так как (∫vdu)b = ∫b vdu , то получаем формулу (2.19). a a

																							π
Пример 2.5. Вычислить интеграл ∫2 x cos xdx .
																							0
π										u = x,																					du = dx
2																																														=
∫xcos xdx =						dv = cos xdx,																	v = ∫cos xdx = sin x + c																			(c			= 0)
0
	π		π										π								π									π		π							π								π
			2
= x sin x	2																sin						− 0 + cos x							2	=			+ cos							− cos0 =							−1.
		− ∫sin xdx =											2								2											2							2								2
	0		0																											0
Пример 2.6. Вычислить ∫2 x2 ln xdx .
											1
		2									2													u = ln x,								du				= 1 dx
		∫x2 ln xdx = ∫ln x x2 dx =																						dv = x					dx,					v				x	3				=
																																				= 3
		1									1																	2										x
					x3				2					x3
													2							1				8						1					1		2		2
	= ln x								1	−			∫								x	dx =			ln 2		−				ln1		−				∫x			dx =
					3										3									3						3					3
													1																								1
			8					1				x3					2				8				1	(2	3				3	)=		8							7			.
		=		ln 2		−											1		=				ln 2	−					−1							ln 2 −
			3					3					3								3				9									3							9

55