Например, ∫1 sin(x3 )dx = 0, т.к. функция y = sin(x3 ) нечетна.

−1

2.1.4. Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f (x) непрерывна в некотором интервале. Возьмем

фиксированную точку a из этого интервала. Тогда для любого x из данного интервала существует определенный интеграл

∫x	f (t)dt	(2.10)
a

(переменную интегрирования обозначим буквой t , чтобы не путать ее с верхним пределом). При изменении x интеграл (2.10) меняется, т.е. зависит от x . Иными словами, интеграл (2.10) – это функция верхнего предела x , заданная на рассматриваемом интервале, обозначим ее Φ(x):

Φ(x)= ∫x f (t)dt .

a

Интеграл (2.10) называют интегралом с переменным верхним пределом.
Справедлива следующая теорема.								f (x) в
Теорема. Функция Φ(x) является первообразной функции
расматриваемом интервале, то есть справедливо равенство
		Φ	(x)= f (x).			(2.11)
			′
Доказательство.		Найдем Φ (x) по		определению	производной.				Для
			′
этого дадим точке x		приращение ∆x , получим точку			x + ∆x .	Вычислим
приращение	функции	Φ(x),	равное	∆Φ = Φ(x + ∆x)−Φ(x).		Так			как
Φ(x)= ∫x f (t)dt , то Φ(x + ∆x)= x+∫∆xf (t)dt , поэтому
a			a
∆Φ = x+∫∆xf (t)dt − ∫x			первый интеграл представляем в виде					=
		f (t)dt =
a	a		суммы двух интегралов по свойству 7

x	f (t)dt +	x+∆x				x	f (t)dt =	x+∆x
= ∫		∫	f (t)dt		−	∫		∫	f (t)dt =
a		x				a		a

по теореме о среднем значении,	c
учетом непрерывности функции	f (t)	=
для t [x; x + ∆x], существует точка
с [x; x + ∆x] такая, что

= f (c)((x + ∆x)− x)= f (c)∆x .

Теперь по определению производной

50

	′	∆Φ	= lim		f (c)∆x	= lim f (c)=
	Φ (x)= lim	∆x			∆x
	∆x→0			∆x→0		∆x→0
	так как с [x; x + ∆x] и при ∆х → 0 концы этого отрезка							= lim f (c)= f (x),
=	стремятся к х, то по теореме о промежуточной
	переменной с			→ х				с→x

т.к. функция f (x) непрерывна в точке x . Теорема доказана.

Вывод: если функция f (x) непрерывна в некотором интервале, то в этом интервале у нее существует первообразная, например функция Φ(x).

Доказанная теорема «связала» определенный интеграл от непрерывной функции с первообразной этой функции, что позволило получить простую формулу для вычисления определенного интеграла.

2.1.5. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Пусть f (x) непрерывна на отрезке [a b;] и F(x)	- какая-
нибудь первообразная функции f (x). Тогда справедлива формула
∫b f (x)dx = F(b)− F(a).	(2.12)
a
Формула (2.12) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Рассмотрим функцию Φ(x)= ∫x f (t)dt , которая тоже

a

является первообразной функции f (x) для x [a b;]. Так как первообразные функции f (x) отличаются на постоянные слагаемые, то F(x)= Φ(x)+C0 на

[a b;], т.е.

F(x)= ∫x	f (t)dt +C0 .	(2.13)
a		x [a b;], поэтому, подставив в
Равенство (2.13) справедливо для всех
(2.13) x = b , получим
F(b)= ∫b	f (t)dt +C0 ,	(2.14)
a
а затем, подставив x = a , имеем

F(a)= ∫a f (t)dt + C0 = С0 .

a

Подставив C0 = F(a) в выражение (2.14), имеем F(b)= ∫b f (t)dt + F(a),

			a
т.е. F(b)− F(a)= ∫b f (t)dt . Т.к. по свойству 1	∫b	f (t)dt = ∫b	f (x)dx , то теорема
a	a	a
доказана.

В формуле (2.12) выражение F(b)− F(a) удобно обозначать

51

F(b)− F(a)= F(x)		b	(2.15)
		a

и применять формулу (2.12) в виде

∫b	f (x)dx = F(x)		b .	(2.12')
a			a

Замечание. Если F(x)= F1 (x)± F2 (x), то очевидно, (F1 (x)± F2 (x)) ba = F1 (x)ba ± F2 (x)ba ,

что легко проверяется, используя (2.15).

Из доказанной теоремы следует, что если f (x) непрерывна на [a b;], то для вычисления определенного интеграла от функции f (x) достаточно найти какую-нибудь первообразную F(x) этой функции и применить формулу (12').

2

2

x3

2

23

13

7

x3

Например,

∫x

dx =

1

=

−

=

, т.к.

функция

-

это первообразная

3

3

3

3

3

1

функции x2 .

∫b

Итак,

чтобы вычислить определенный интеграл

f (x)dx фактически

a

достаточно

уметь

находить

соответствующий неопределенный интеграл

∫ f (x)dx .

dx

Пример 2.1. Вычислить ∫2

.

dx

d (x +1)

1 x +1

Так как ∫

= ∫

= ln

x +1

+ С , то

x +1

x +1

2

dx

x +1

2

3

∫1

= ln

1 = ln

2 +1

−ln1+1

= ln 2 .

x +1

Пример 2.2. Вычислить ∫2 (2x2

+3x +5)dx .

0

∫(2x2 + 3x + 5)dx мы

Для

вычисления

неопределенного

интеграла

пользуемся свойствами неопределенного интеграла об интегрировании суммы функций и вынесении постоянного множителя за знак интеграла. Но такими же свойствами обладает и определенный интеграл, поэтому можно

сразу																													написать
2	(2x2	+3x +5)dx =				2	2	x2 dx +3				2	xdx +5			2	dx =	2	x3		2 +3	x2			2 +5 x				2 =
∫												∫				∫
						∫													3		0	2			0				0
0							0					0				0
		= 2	22	−	03		+3			22	+		02		+5(2 −0)=				16		+ 6 +10		= 21			1	.
					3					2			2						3							3
			3

52

Как известно, для отыскания неопределенного интеграла иногда нужно использовать замену переменной или применять формулу интегрирования по частям. Оказывается, эти же методы можно применять сразу в определенном интеграле.

2.1.6. Замена переменной в определенном интеграле

Рассмотрим ∫b f (x)dx , где f (x) непрерывна на [a b;]. Пусть для

a

вычисления этого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница при отыскании первообразной функции f (x), т.е. при отыскании неопределенного интеграла

∫ f (x)dx необходима замена переменной. Справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть f (x) непрерывна на отрезке [a b;], а функция x =ϕ(t)

непрерывна вместе со своей производной ϕ′(t) на отрезке [α; β], где α и β такие, что

ϕ(α)= a , ϕ(β)= b .

(2.16)

Тогда справедливо равенство

b	β
	′	(2.17)
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt .

aα

Доказательство. Пусть F(x) - первообразная функции f (x), тогда по

формуле (2.12)		∫b f (x)dx = F(b)− F(a).
							(2.18)
		a
Но функция	F(ϕ(t))	является при этом первообразной для функции
f (ϕ(t))ϕ (t),	т.к. по	правилу	дифференцирования			сложной	функции
′		f (x) ϕ (t)=	f (ϕ(t))ϕ (t). Поэтому по формуле Ньютона-
(F(ϕ(t)))' = F (x) ϕ (t)=
′	′	′			′
β	′			β	= F(ϕ(β))− F(ϕ(α))
Лейбница ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F(ϕ(t))				α		или с	учетом
α
условий (2.16)
		β	′				(2.19)
		∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F(b)− F(a).

α

Сравнивая (2.18) и (2.19), получим доказываемое равенство (2.17). Замечание. Из формулы (2.17) видно, что замену переменной в

определенном интеграле проводят так же, как в неопределенном – в подынтегральное выражение всюду вместо старой переменной x

подставляют x =ϕ(t) (при этом вместо dx получается d(ϕ(t))= ϕ′(t)dt ). Отметим, что при этом меняются и пределы интегрирования. Новые пределы

53

интегрирования

ищут

из равенства

x =ϕ(t),

или

если

замена

делается

обозначением

t = g(x),

то

из

последнего равенства. В формулу,

определяющую замену переменной,

подставляют сначала

x = a и находят

соответствующее t

=α , затем подставляют x = b и находят соответствующее

t = β .

π

Пример 2.3. Вычислить ∫4 tg 3 xdx .

0

1

Решение.

Сделаем замену

t = tgx ,

тогда

dx =

dt

и из равенства

1+t 2

t = tgx видно,

x = 0

t = tg0 = 0, а

что

значению

соответствует

значение

значению

x = π

соответствует значение t = tg

π

=1. По формуле (2.17), где

4

4

α = 0 , β =1 имеем

π

1

(t3 +t)−t

t(t 2 +1)

t

t

4

3

1

3

1

1

1

∫tg

xdx = ∫t

dt =

∫

dt

= ∫

−

dt = ∫

t

−

dt =

1

+t

2

t

2

+1

t

2

+1

t

2

+1

t

2

+1

0

0

0

0

0

1

1

1

2tdt

t2

1

1

1

d (t2

+

1)

12

02

1

2

1

= ∫tdt −

∫

=

−

∫

=

−

−

ln

t

+1

=

2

t

2

+1

2

0

2

t

2

+1

2

2

2

0

0

0

0

=

1

− 1

(ln(12 +1)− ln(02 +1))=

1

− 1 ln 2 .

2

2

xdx

2

2

Пример 2.4. Вычислить интеграл ∫2

.

x

2

+ 2x

+ 2

1

Решение. Подынтегральная функция – это простейшая рациональная

дробь, преобразуем ее по известному ранее правилу:

x

= 1

(2x + 2)− 2

=

1

2x + 2

−

1

.

x2 + 2x + 2

2

x2 + 2x + 2

2

x2

+ 2x + 2

x2

+ 2x + 2

2

xdx

1

2

(2x + 2)dx

2

dx

∫

=

∫

− ∫

.

x

2

+ 2x

+ 2

2

x

2

+ 2x + 2

(x +1)

2

+

1

1

1

1

В первом интеграле делаем замену x2

+ 2x + 2 = t , тогда (2x + 2)dx = dt

и

при

x =1

получаем

t =12 + 2 1+ 2 = 5,

а

при

x = 2

получаем

t = 22 + 2 2 + 2 =10 .

Во

втором

интеграле

делаем

замену

x +1 = z ,

тогда

dz = dx и при x =1 получаем z = 2 , а при x = 2 получаем z = 3.

По формуле (2.17)

10 − arctgz

3

∫2

xdx

=

1 10∫dt − ∫3

dz

=

1 ln

t

=

2

2

1 x

+ 2x

+ 2

2 5 t

2 z

+1

2

5

2

=

1

(ln10 − ln5)− (arctg3 − arctg2)=

1 ln 2 − arctg3 + arctg2.

2

2

54