данном примере

u = x ,

поэтому du =

х′

dx = dx. В качестве dv мы взяли

dv = sin 2xdx

поэтому

ищем

∫dv = ∫sin 2xdx = −

1 cos2x + C

и берем,

2

например, v = −1 cos2x . Итак, u = x , dv = sin 2xdx и du = dx, v = −

1 cos2x . По

2

2

формуле (1.12)

∫udv = uv − ∫vdu , т.е.

∫xsin 2xdx

1

−

1

= x −

2

cos2x

− ∫

2

cos2x dx =

= −

xcos2x

+ 1

∫cos2xdx = −

xcos2x

+

1

1 sin 2x + C .

2

2

2

2

2

Окончательно

∫xsin 2xdx = − 1 xcos2x + 1 sin 2x + C .

2

4

Иногда для «освобождения» от одного из множителей в

подынтегральном

выражении

приходится

применять

формулу

интегрирования по частям несколько раз.

Пример 1.23. Вычислить интеграл ∫(x2

+ 7x − 5)ex dx .

Обозначим:

+ 7x − 5)′ dx = (2x + 7)dx ,

u = x2 + 7x − 5,

dv = ex dx ; тогда du = (x2

v = ∫ex dx = ex + C (C = 0).

По формуле (1.12) получим

∫(x2 + 7x − 5)ex dx = (x2 + 7x − 5)ex − ∫(2x + 7)ex dx .

Кполученному в правой части интегралу снова применим формулу интегрирования по частям, где

u = 2x + 7 , dv = ex dx ; du = 2dx , v = ex .

Тогда

∫(2x + 7)ex dx = (2x + 7)ex − 2∫ex dx = (2x + 7)ex − 2ex + C .

Окончательно

∫(x2 + 7x − 5)ex dx = (x2 + 7x − 5)ex − (2x + 7)ex + 2ex + C =

=ex (x2 + 7x − 5 − 2x − 7 + 2)+ C = ex (x2 + 5x −12)+ C .

22

Пример 1.24. Вычислить интеграл ∫x2 ln xdx .

В данном интеграле избавимся от функции ln x .

Применим формулу

2

′

dx

2

x3

(1.12), где u = ln x ,

dv = x

dx

; тогда

du = (ln x)

dx =

x

, v = ∫x

dx =

+ C

3

(возьмем C = 0 ).

По формуле (1.12) получим

∫x2 ln xdx =

x3

ln x − ∫

x3

dx

=

x3

ln x − 1 ∫x2 dx =

x3

ln x −

x3

+ C .

3

3

3

x

3

3

9

Пример 1.25. Вычислить интеграл ∫x arctg x dx .

Избавимся от функции arctg x, применив формулу (1.12). Положим

u = arctgx , dv = xdx , du =

dx

,

v = ∫xdx =

x2

+ C (C = 0 ).

2

1 + x

2

Тогда будем иметь по формуле (1.12)

∫x arctg x dx =

x2

arctg x − ∫

x2

dx

=

x2

arctg x − 1 ∫

x2 dx

=

2

2

2

(x2 +1)−1

2

1 + x

2

2

1 + x

=

x2

arctg x −

1

∫

dx =

x2

arctg x −

1

∫dx +

1

∫

dx

=

2

2

1 + x

2

2

2

2

1

+ x

2

=

x2

arctg x −

x

+

1 arctg x + C =

1

(x2 arctg x − x + arctg x)+ C .

2

2

2

2

Пример 1.26. Вычислить интеграл ∫arcsin xdx .

arcsin x ,

В подынтегральном выражении

стоит функция

первообразная от которой неизвестна,

избавимся от этой функции, применив

формулу (1.12),

u = arcsin x , dv = dx

, du =

dx

,

v = x .

1 − x2

Тогда по формуле (1.12), получаем

∫arcsin xdx = xarcsin x − ∫

xdx

.

1 − x

2

В последнем интеграле сделаем замену: t =1 − x2 ,

dt = −2xdx , xdx = −dt ,

2

при этом

∫1xdx− x2 = −12∫ dtt = −t + C = −1 − x2 + C .

Окончательно получаем

∫arcsin xdx = xarcsin x + 1 − x2 + C .

23

Иногда подынтегральная функция – это произведение двух «плохих» функций, от которых нельзя избавиться, т.к. их производные не лучше, чем сами функции. В некоторых случаях двукратное применение формулы (1.12) позволяет выразить искомый интеграл через самого себя. В итоге получается линейное уравнение относительно искомого интеграла.

Пример 1.27. Вычислить интеграл I = ∫e2 x cos xdx .

В подынтегральном выражении произведение двух «плохих» функций e2 x и . Применим формулу (1.12), где

u = e2 x , dv = cos xdx ; тогда du = 2e2 x dx , v = sin x .

Получим

I= ∫e2 x cos xdx = e2 x sin x − 2∫e2 x sin xdx .

Кинтегралу в правой части равенства снова применим формулу интегрирования по частям, взяв u = e2 x , dv = sin xdx ; du = 2e2 x dx , v = −cos x .

Тогда ∫e2 x sin xdx = −e2 x cos x + 2∫e2 x cos xdx = −e2 x cos x + 2I .

Подставляя полученное выражение в предыдущее равенство, имеем

I = e2 x sin x − 2(− e2 x cos x + 2I ).

Получилось линейное уравнение относительно I :

I = e2 x (sin x + 2cos x)− 4I , откуда 5I = e2 x (sin x + 2cos x).

Учитывая, что I – это неопределенный интеграл, имеем

I = ∫e2 x cos xdx = e2 x sin x + 2e2 x cos x + C . 5

Все методы интегрирования исчерпываются рассмотренными ранее методами замены переменной, интегрирования по частям и использованием свойств неопределенного интеграла. Далее мы рассмотрим некоторые классы функций, для интегрирования которых разработан план применения методов интегрирования.

1.6. Интегрирование рациональных функций

Рациональная функция, обозначаемая R(x),- это функция, представимая в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:

Q(x)			B0 xm + B1 xm−1 + + Bm
		=	A0 xn + A1 xn−1 + + An .
f (x)

Не ограничивая общность рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.

24

Если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, то дробь называется правильной, а в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

Q(x)		= M (x)+	F(x)	.
f (x)
			f (x)

Здесь M(x) – многочлен, называемый целой частью неправильной дроби, а

F((x)) – правильная дробь. f x

Пример 1.28. Преобразовать неправильную рациональную дробь

x4 − 3	(4 > 2).
x2 + 2x +1

Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим

	x4 − 3		= x2	− 2x + 3 −		4x + 6		.
	x2 + 2x +1					x2 + 2x +1
Здесь x2 − 2x + 3 – целая часть				дроби, а	− (4x + 6) – остаток от деления

числителя на знаменатель.

Проинтегрировать многочлен просто, поэтому основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

			Определение 1.3. Правильные рациональные дроби вида:
I.			A	;
	x − a
			A
II.					( k	– целое положительное число ≥ 2);
		(x − a)k
III.			Ax + B				(корни знаменателя комплексные, т.е.	p2	− q < 0);
			x2 + px + q					4
IV.				Ax + B			, k ≥ 2
			(x2	+ px + q)k

называются простейшими дробями.

При интегрировании дробей типа I, II, используются табличные интегралы 1, 2 и формула (1.10). Интегрирование дробей типа III было подробно рассмотрено ранее в п. 1.5. Поэтому мы повторим кратко их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:

25

I. ∫

A

dx = Aln

x − a

+ C .

x − a

(x − a)−k +1

II. ∫

A

dx =

A∫(x − a)−k dx = A

+ C =

A

+ C .

(x − a)

k

− k +1

k −1

(1 − k)(x − a)

Ax + B

x + B

A

2x

+ 2B

A

(2x + p)+

2B

− p

III. ∫

dx = A∫

A

dx =

∫

A

=

∫

A

dx =

x

2

x

2

+ px + q

2

x

2

+ px + q

x

2

+ px + q

+ px + q

2

A

(2x + p)+ 2AB − p

A

(2x + p)

Ap

dx

=

∫

dx =

∫

dx +

B −

∫

=

2

x

2

+ px + q

2

x

2

+ px + q

2

x

2

+ px + q

A

2

Ap

dx

A

2

=

ln

x

+ px + q

+ B

−

∫

= =

ln

x

+ px + q

+

2

2

p

2

p

2

2

x

+

+

q −

2

4

+

2

B − Ap

arctg

2x + p

+ C .

4q − p2

4q − p2

Теперь научимся интегрировать рациональные дроби IV типа:

∫

Ax + B

,

(k N,

k ≥ 2),

где корни квадратного трехчлена x2 + px + q

(x

2

+ px + q)

k

комплексные. При интегрировании такой дроби сначала делаются такие же преобразования, что и для дробей типа III: в числителе выделяется производная квадратного трехчлена, а затем дробь разбивается на сумму двух слагаемых:

Ax + B

(x2 + px + q)k

=A2

x + B

A

(2x + p)− p +

B

= A

A

=

A

=

(x2

+ px + q)k

2

(x2 + px + q)k

(2x + p)

B −

pA

+

2

.

(x2 + px + q)k

(x2 + px + q)k

При интегрировании	первого	слагаемого	делаем замену t = x2 + px + q ,
dt = (2x + p)dx , а во	втором	слагаемом	выделяем полный квадрат в
квадратном трехчлене.

26

Тогда

Ax + B

A

dt

pA

dx

∫

=

∫

+ B −

∫

=

(x

2

+ px + q)

k

2

t

k

2

p 2

p2

k

x +

+ q −

2

4

p

A

t−k +1

pA

d x +

2

=

+ B −

∫

.

2

− k

+1

2

p

p2

k

2

x +

+ q

−

2

4

Для того чтобы найти последний интеграл, применяют рекуррентную формулу

dx

1

x

dx

Ik = ∫

=

+

(2k −3)∫

,

(1.13)

(x2 +h2 )k

2(k −1)h2

(x2 + h2 )k −1

(x2

+h2 )k −1

позволяющую

интеграл Ik

( k > 1)

выразить

через

Ik −1 = ∫

dx

.

(x2 + h2 )k −1

Применяют эту формулу столько раз, чтобы дойти до интеграла ∫ x2 dx+ h2 , являющегося табличным (формула 11').

Пример 1.29. Найти интеграл ∫(x2 dx+ 4)2 .

dx

по формуле (1.13)

1

x

dx

∫(x2 + 4)2 =

k = 2, h2 = 4

=

2(2 −1)

4

(x2 + 4)2−1 + (2

2 − 3)∫(x2 + 4)2−1

=

=

1

x

+ ∫

dx

=

1

x

+

1

arctg

x

+ C .

8

2

+ 4

x

2

8

2

+

4

2

2

x

+ 4

x

Пример 1.30. Найти интеграл ∫

(3x + 2)dx

.

2

2

(x + 2x + 2)

2

4

(3x + 2)dx

x +

3

(2x + 2)+

3

− 2

3

∫

=

3∫

dx =

∫

dx =

(x

2

2

(x

2

+

2x +

2

2

(x

2

2

+ 2x + 2)

2)

+ 2x + 2)

3

∫

(2x + 2)

dx +

3

2

dx

=

−

∫

=

(x

2

2

+ 2x + 2)

2

3

(x

+

2x + 2)

в первом слагаемом замена x2

+ 2x + 2 = t,

dt = (2x + 2)dx,

=

а во втором выделяем полный квадрат в квадратном

=

трехчлене x2

+ 2x + 2 = (x +1)2

+1

27

3 dt

dx

3 1

d (x +1)

= 2

∫t2 − ∫((x +1)2 +1)2 = −

t

−

∫

=

2

((x +1)2 +1)2

по формуле (1.13) запишем

dx

1

x

dx

1

x

=

+

=

+ arctg x

+ C

∫(x2 +1)2

2

∫ x2 +1

2

+1

x2 +1

x

2

=

и применим полученную формулу ко второму слагаемому,

взяв х +1 вместо х;

=

кроме того,

в первом слагаемом вернемся к переменной х

t

= x2

+ 2x + 2

3

1

x +1

= −

−

+ arctg(x +1)

+ C .

2(x

2

+ 2x +

2)

2

2

(x +1) +1

Окончательно

(3x + 2)dx

3

x +1

1

∫

= −

−

−

2 arctg(x +1)+ C =

(x2 + 2x + 2)2

2(x2

+ 2x + 2)

2(x2 + 2x + 2)

= −

x + 4

−

1 arctg(x +1)+ C .

2(x2 + 2x + 2)

2

1.7. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби

Можно доказать, что любая правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших дробей. Из теории, называемой алгеброй многочленов, известно, что любой многочлен ненулевой степени можно разложить на множители, соответствующие корням этого многочлена. Корни у многочлена могут быть либо действительными, либо комплексными.

Например, у

многочлена f (x)= x3 +1

корни можно найти

из уравнения

=1 ±

= 1 ±

i .

x3 +1 = 0 или

(x +1)(x2

− x +1)= 0 , тогда

x

= −1, а

x

1 − 4

3

2,3

1

2

2

2

Один корень

x

= −1 – действительное число, а два других

x

= 1 ±

3

i –

2,3

1

2

2

пара комплексно сопряженных чисел. Многочлен

x3

+1 раскладывается на

три линейных

множителя x3 +1 = (x − x )(x − x

2

)(x − x

).

При

этом

1

3

произведение

скобок,

соответствующих

паре

комплексно-сопряженных

корней, (x − x2 )(x − x3 ) равно квадратному трехчлену x2 − x +1,

коэффициенты которого – действительные числа. Аналогичное разложение на множители справедливо для любого многочлена Pn (x) степени n (n ≠ 0).

Такой многочлен имеет ровно n корней, причем комплексные корни всегда присутствуют парами, а именно парами комплексно-сопряженных чисел. Этот многочлен раскладывается на n линейных множителей:

Pn (x)= a0 (x − x1 )(x − x2 ) (x − x3 ),

где a0 – коэффициент многочлена при старшей степени x, т.е. при xn . Если в

28

этом разложении перемножить пары скобок, соответствующие комплексносопряженным корням, и объединить одинаковые скобки, то разложение примет вид

Pn (x)= a0 (x −b1 )α1 (x −b)αk (x2

+ p1 x + q1 )β1 (x2 + ps x + qs )βs (1.14)

здесь b1, …, bk – различные действительные корни многочлена, а квадратные трехчлены соответствуют различным парам комплексно-сопряженных корней. Показатели степени скобок называются кратностями корней.

Например, у многочлена пятой степени P5 (x)= 3(x − 2)2 (x + 4)(x2 + 6) есть различные корни: b1 = 2, кратности 2, b2 = –4, кратности 1 и пара комплексно

	-сопряженных корней x3,4 = ±	6	i кратности 1.	F(x)
	Рассмотрим правильную рациональную дробь					, где	f (x) –
				f (x)

многочлен степени n. Пусть нам удалось разложить знаменатель f (x) на

множители по формуле (1.14). Тогда данная правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, знаменателями которых являются множители, на которые разложен знаменатель исходной рациональной дроби. В этой сумме могут быть представлены все возможные простейшие дроби, общий знаменатель которых равен знаменателю исходной дроби. Так, если в знаменателе исходной дроби есть множитель

(x − b)3 , то в разл ожении этой дроби на простейшие могут присутствовать три простейшие дроби типа I и II вида:

	A1	,	A2	,	A2	,
	x − b		(x − b)2		(x − b)3

общий знаменатель которых (x − b)3 . Если в знам енателе исходной дроби

присутствует множитель (x2 + px + q)2 , то в разложении этой дроби на простейшие могут быть две простейшие дроби типа III и IV вида:

	B1 x + C1	и	B2 x + C2	,
	x2 + px + q		(x2 + px + q)2
общий знаменатель которых равен (x2			+ px + q)2 .

Теперь видно, что разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби выписать просто, если знаменатель разложен на множители в виде (1.14), при этом знаменатели этих простейших дробей нам известны, а о числителях нам известен лишь их вид (либо число, либо линейная функция). Например,

x2		A		B		Cx + D
	=		+		+		.
(x +1)(x − 2)(x2 + 3x +10)		x +1		x − 2		x2 + 3x +10

Здесь каждому множителю знаменателя соответствует одна простейшая

29

дробь, т.к. все корни знаменателя имеют кратность 1. В полученном разложении нам неизвестны коэффициенты A, B, C, D. Метод представления неизвестных коэффициентов буквами, с последующим определением их значений, называется методом неопределенных коэффициентов.

Итак, пусть правильная рациональная дробь представлена в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами в числителях. Для отыскания значений коэффициентов приведем записанную сумму дробей к общему знаменателю – получим рациональную дробь с таким же знаменателем, как у исходной дроби. Мы хотим, чтобы полученная дробь тождественно совпала с исходной, поэтому подберем неопределенные коэффициенты так, чтобы у полученной и исходной дробей тождественно совпали числители. Тождественное равенство числителей – это тождественное равенство двух многочленов. Справедливы два критерия тождественного равенства двух многочленов.

Теорема 1.2. Для того чтобы два многочлена тождественно совпадали, необходимо и достаточно, чтобы у них совпадали коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Теорема 1.3. Для того чтобы два многочлена степени не выше n тождественно совпадали, необходимо и достаточно, чтобы совпадали их значения при (n + 1) различных значениях переменной.

Вернемся к отысканию значений неопределенных коэффициентов. Покажем на примере, как для их отыскания используются теоремы 1.2 и 1.3.

Пример 1.31. Разложить на простейшие дроби правильную дробь

x2 + 3 . x3 + 5x2 +10x

Разложим сначала знаменатель на множители: x3 + 5x2 +10x = x(x2 + 5x +10).

Квадратный трехчлен x2		+ 5x +10 не имеет действительных корней, т.к. его
дискриминант D = 25 – 4 · 10 · 1 = – 15 < 0. Имеем
		x2 + 3		x2 + 3
			=		.
	x3	+ 5x2 +10x		x(x2 + 5x +10)

Эта дробь представляется в виде суммы двух простейших дробей:

		x2 + 3			=	A	+	Bx + C	.
		x(x2 + 5x +10)						x2 + 5x +10
						x
Приводя правую часть равенства к общему знаменателю, получим
	x2 + 3		=	A(x2 + 5x +10) + (Bx + C)x						.	(1.15)
	x(x2 + 5x +10)				x(x2			+ 5x +10)
Уравняем числители этих дробей:
	x2 + 3 = A(x2 + 5x +10) + (Bx + C)x .
Для отыскания неизвестных			коэффициентов A, B, C								воспользуемся,

30

например, теоремой 1.2. Раскроем скобки и приведем подобные в правой части равенства:

x2	+ 3 = (A + B)x2		+ (5A + C)x +10A.	(1.16)
Приравняем коэффициенты в левой			и правой частях равенства	при x2
(1 = A + B ), при x (0 =	5A + C)	и свободные члены (3 = 10 A). Получим
систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
	A + B =1,
	5A + C = 0,
		10A = 3.

Решение системы: A =103 , B =107 , C = −32 . Так как при найденных значениях

A, B, C коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве (1.16) совпадают, то из теоремы 1.2 следует, что числители левой и правой частей равенства (1.15) тождественно совпадают и, значит,

3

7

x

3

x2 + 3

−

.

= 10

+

10

2

x(x2 + 5x +10)

x

x2 + 5x +10

Пример 1.32. Разложить дробь

x2

+ 2

на простейшие.

(x +1)3 (x − 2)

Применим метод неопределенных коэффициентов:

x2 + 2

A

A

A

B

(x +1)3 (x − 2)= (x +1)3

+ (x +1)2 + x +1

+ x − 2 .

1

2

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители левой и правой частей, имеем

x2 + 2 = A(x − 2)+ A1 (x +1)(x − 2)+ A2 (x +1)2 (x − 2)+ B(x +1)3

или, раскрывая скобки и приводя подобные, получим

x2 + 2 = x3 (A2 + B)+ x2 (A1 + 3B)+ x(A − A1 −3A2 + 3B)+ (− 2A − 2A1 − 2A2 + B).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений для определения коэффициентов:

	0 = A2 + B,
	1 = A1 + 3B,
	0 = A − A1 − 3A2 + 3B,
2 = −2A − 2A		− 2A	+ B.
	1	2

31

Решая эту систему, найдем

A = −1, A =

1

, A = −

2 ,

B = 2 .

1

3

2

9

9

В результате получаем разложение

x2 + 2

1

1

2

2

=

−

+

−

+

.

(x +1)3 (x − 2)

(x +1)3

3(x +1)2

9(x +1)

9(x − 2)

Пример 1.33. Вычислить интеграл ∫

x2 + 2

dx .

(x +1)3 (x − 2)

Разложим подынтегральную дробь на простейшие и применим метод неопределенных коэффициентов (см. пример 1.32). Получим

∫

x2

+ 2

dx = − ∫

dx

1

∫

dx

2

∫

dx

2

∫

dx

+

−

+

=

3

3

3

(x

2

9

x +1

9

x −

2

(x +1) (x − 2)

(x +1)

+1)

1 1

1

2

x +

2

x − 2

+ C = −

2x −1

2

x − 2

+ C .

=

−

− 9 ln

1

+

9 ln

+

9 ln

2

(x +1)2

3(x +1)

6(x +1)2

x +1

Пример 1.34. Вычислить интеграл ∫

xdx

.

(x

2

2

+1)(x −1)

Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

x

Ax + B

C

D

(x2 +1)(x −1)2 =

(x2 +1)+

+

.

(x −1)2

x −1

Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители: x = (Ax + B)(x −1)2 + C(x2 +1)+ D(x −1)(x2 +1).

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим

x = x3 (A + D)+x2 (B − 2A + C − D)+ x(A − 2B + D)+ (B + C − D).

Далее, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, будем иметь следующую систему уравнений:

	A + D = 0,
B − 2A + C − D = 0,
	A − 2B + D =1,
	B + C − D = 0.
Решая эту систему, находим
A = 0, B = −1 , C =		1 ,	D = 0 .
	2	2

32

Таким образом,

1

1

x

0 x

−

0

1 1

1 1

2

2

.

(x2 +1)(x −1)2

=

+

+

= −

2

+

2

x2 +1

(x −1)2

x −1

x2 +1

(x −1)2

Поэтому

xdx

∫

= −

1

∫

dx

1

∫

dx

1

arctg x −

1

+ C .

2

+

= −

(x

2

+1)(x −

2

(x

2

+1)

2

(x

2

2

2(x −1)

1)

−1)

Пример 1.35. Вычислить интеграл ∫

x + 4

dx .

x3

+ 6x2 +11x + 6

Так как подынтегральная функция является правильной дробью, то ее следует представить в виде суммы простейших дробей. Для этого разложим знаменатель на множители, для чего найдем корни знаменателя. Легко видеть, что многочлен x3 + 6x2 +11x + 6 обращается в нуль при x = −1, поэтому он делится без остатка на x +1. Выполняя деление по правилу деления многочленов, получим

x3 + 6x2 +11x + 6 = (x +1)(x2 + 5x + 6)= (x +1)(x + 2)(x + 3).

Теперь
	x + 4	=	A		+	B	+	C		.
	x3 + 6x2 +11x + 6		x +1			x + 2		x + 3

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

x + 4 = A(x + 2)(x + 3)+ B(x +1)(x + 2)+ C(x +1)(x + 2).

Для отыскания неизвестных коэффициентов применим теорему 1.3. Т.к. для тождественного равенства многочленов степени не выше двух

(см. многочлены в левой и правой частях равенства) достаточно

совпадения их значений в трех различных точках, т.е. при трех

различных значениях

x, то уравняем значения в левой и правой части в

точках x = – 1, x

= –2, x = – 3. Для этого подставим эти значения по очереди в

правую и левую части последнего равенства.

Полагая x = −1,

имеем 3 = 2A,

т.е. A =

3 . Если x = −2, то

2 = −B , т.е. B = −2.

1 .

2

При x = −3 получим 1 = 2C , т.е. C =

Итак,

2

x + 4

1,5

− 2

0,5

=

+

+

,

откуда

x3 + 6x2 +11x + 6

x +1

x + 2

x + 3

x + 4

3

dx

dx

1

dx

∫

dx =

∫

−

2∫

+

∫

=

x

3

+ 6x

2

+11x + 6

2

x +1

x + 2

2

x + 3

=

3 ln

x +1

− 2ln

x + 2

+

1 ln

x + 3

+ C .

2

2

33

Пример 1.36. Вычислить интеграл ∫			x5 +1			dx .
	x	4	−8x	2	+16

Обратите внимание на то, что под знаком интеграла стоит неправильная дробь. Следовательно, сначала необходимо выделить целую часть этой дроби. Разделив по правилу деления многочленов числитель на знаменатель, будем иметь

x5 +1	= x +	8x3 −16x +1	= x +	8x3 −16x +1	= x +	8x2 −16x +1	.
x4 −8x2 +16		x4 −8x2 +16		(x2 − 4)2
						(x − 2)2 (x + 2)2

Разложим теперь полученную правильную дробь на простейшие:

8x2 −16x +1	=	A		B		C		D
			+		+		+		.
(x − 2)2 (x + 2)2		(x − 2)2		x − 2		(x + 2)2		x + 2

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

8x3 −16x +1 = A(x + 2)2 + B(x − 2)(x + 2)2 + C(x − 2)2 + D(x − 2)2 (x + 2).

Для отыскания неизвестных коэффициентов воспользуемся обеими

теоремами 1.2 и 1.3. Полагая x = 2, найдем 33 =16A, т.е. A = 33 ; при							x = −2,
				31 ; если		16
получим	− 31 =16C ,	т.е.	C = −		x = 0, то	1 = 4A −8B + 4C + 8D .
				16
Заменив A и C их значениями, получаем уравнение
1 = 33 −8B − 31 + 8D ,		или	−16B +16D =1.
4	4
Для того чтобы найти B и D, составим еще одно уравнение. Уравняем
коэффициенты при x3 , получим 8 = B + D . Решив систему уравнений
				B + D =8,
				16B +16D =1,
			−

находим D =12932 , B =12732 . Окончательно получаем

x

5

+

1

33

+

127

−

31

+ 129

dx = x +

dx =

∫

∫

2

x

−8x

+16

16(x

− 2)

32(x − 2)

16(x + 2)

32(x +

2)

x2

33

127

ln

x − 2

31

129

ln

x + 2

+ C .

=

−

+

+

+

2

16(x − 2)

32

16(x + 2)

32

34