∫ f	′		(1.8)
		(x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ (t)dt ,
где	после интегрирования в правой части		равенства вместо t	будет
поставлено его выражение через x, т.е. функция, обратная к x = φ(t).
g(x)	Замечание 1.1. Если мы хотим сделать замену t = g(x), то функция
	должна «хорошо»	подводиться под	знак дифференциала.	Т.к.

dg(x)= g′(x)dx , то если подынтегральное выражение содержит множителем производную некоторой функции g(x), а остальная часть подынтегральной

функции легко выражается через эту функцию , то в качестве новой переменной напрашивается именно эта функция.

Например,

найти

xdx

Здесь множителем в числителе служит x.

∫ x4

+ 9

Функция x – это почти производная

от x2 .

Знаменатель

x4 + 9

легко

выражается через x2 :

x4

+ 9 = (x2 )2

+ 9.

Попробуем сделать

замену

t = x2 .

Тогда d(x2 )= 2xdx = dt , откуда xdx = dt . Получаем

2

1

∫

xdx

= ∫

2 dt

=

1

∫

dt

=

4

9

t

2

2

t

2

x

+

+ 9

+ 9

=

воспользуемся табличной формулой 11, где в роли переменной х

будет переменная t и постоянная a2 = 9, т.е. а = 3

=

1

1 arctg

t

+ C =

t = x2

=

1 arctg

x2

+ C .

2

3

3

6

3

При вычислении неопределенных интегралов удобно использовать

следующие правила:

1. Если

∫ f (x) dx = F(x) + C ,

то

∫ f (ax)dx =

1 F(ax) + C.

(1.9)

a

Действительно, делая замену t = ax ,

x =

t

, dx = dt

, получаем

a

a

∫ f (ax)dx = ∫

f (t) dt

= 1 F

(t)+ C =

1 F(ax)+ C.

a

a

a

12

2. Если

∫ f (x) dx = F(x) + C ,

то

			∫ f (x + b)dx = F(x + b) + C.								(1.10)
3. Если
			∫ f (x) dx = F(x) + C ,
то			∫ f (ax + b)dx = 1 F(ax + b) + C .
											(1.11)
			a
Равенства (1.10) и			(1.11) получаются с		помощью замен						t = x + b и
t = ax + b .					dx
Пример 1.6. Найти неопределенный интеграл ∫							.
					x + 3
Используем формулу 2 таблицы интегралов. Здесь f(x)										=	, и если
взять в качестве подынтегральной функции f(x + 3) =								1		, то получим
								x + 3
искомый интеграл ∫	dx		. По формуле (1.10)
	x + 3

∫xdx+ 3 = ln x + 3 + C .

Пример 1.7. Найти неопределенный интеграл ∫cos7x dx .

Воспользуемся формулой 4 таблицы интегралов ∫cos xdx . В искомом интеграле вместо х стоит 7х. Учитывая формулу (1.9), где a = 7, имеем

∫cos7x dx = 17 sin 7x + C .

Пример 1.8. Найти неопределенный интеграл ∫sin(2x − 6)dx .

Воспользовавшись формулой 3 таблицы интегралов и формулой (1.11) (a = 2, b = -6) получим

∫sin(2x −6)dx = −12 cos(2x −6)+C .

13

Теперь приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменной.

Пример 1.9. Найти неопределенный интеграл ∫sin x cos xdx .

Сделаем	подстановку sin x = t , тогда					dt = cos xdx. Таким образом,
получим
∫			cos xdx = ∫			2t3 2	+ C =	2 sin3 2	x + C .
		sin x		tdt = ∫t1 2 dt =
						3		3

Пример 1.10. Найти неопределенный интеграл ∫costgxdx2 x .

В

подынтегральном

выражении

присутствует

функция tgx

и ее

′

1

производная (tgx) =

.

Поэтому сделаем

замену

переменной:

t = tgx ,

cos2 x

dt =

dx

. Следовательно,

∫

tgxdx2

= ∫tdt = t2 + C = tg 2 x

+ C .

2

x

cos

cos x

2

2

Пример 1.11. Найти неопределенный интеграл ∫arcsin2 xdx2 .

Очевидно, (arcsin x)′ =

1

1 − x

. Поэтому сделаем замену t = arcsin x ,

1 − x2

dt =

dx

и ∫arcsin2 xdx2

= ∫t2dt = arcsin3 x + C .

1 − x

1 − x

3

Пример 1.12. Найти неопределенный интеграл ∫1xdx+ x2 .

Здесь важно вспомнить, что (1 + x2 )′ = 2x , то есть числитель подынтегральной функции – это почти производная знаменателя. Делаем

замену переменной: t =1 + x2 , dt = 2xdx , т.е. xdx =									1 dt .
	xdx	= ∫dt			∫dt				2
Получим ∫			=	1		=	1 lnt + C =	1 ln(1 + x2 )+ C .
	2			2
	1 + x	2t			t		2	2

Пример 1.13. Найти неопределенный интеграл ∫ xdxln x .

В этом интеграле сложно увидеть функцию и ее производную из-за того, что функции x и ln x стоят в знаменателе, но учитывая, что 1x = (ln x)′,

замена очевидна: t = ln x , dt = dxx .

14

Получаем ∫ xdxln x = ∫dtt = lnt + C = ln ln x + C .

Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования. По существу, изучение методов интегрирования разных классов функций сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

1.4. Интегралы от некоторых функций, содержащих в знаменателе квадратный трехчлен

	I. Рассмотрим интеграл I1	=			dx	.
			∫ax2		+ bx + c

Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов, т.е. выделим в квадратном трехчлене полный квадрат:

2

2

b

c

2

b

b 2

c

b 2

ax

+ bx + c = a x

+

x +

= a x

+ 2

x +

+

−

=

a

2a

a

a

2a

2a

b

2

c

b2

b 2

2

= a x +

+

−

= a x +

± k

.

4a

2

2a

a

2a

c

b2

= ±k

2

Здесь мы введем обозначение

−

. Знак плюс или минус берется

4a2

a

в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным

или отрицательным, т.е. будут ли

корни

трехчлена

ax2

+ bx + c

комплексными или действительными.

Интеграл I1

принимает вид

dx

= 1

dx

b

1 ∫

dx

I1 = ∫

∫

=

x +

= t

=

.

2a

ax

2

b

2

t

2 2

+ bx + c

a

2

dx = dt

a

± k

x +

± k

2a

Приходим к табличным интегралам (см. формулы 11, 12 или 1 при k 2

= 0 ).

Пример 1.14. Вычислить интеграл ∫

dx

.

2x2 + 8x + 20

Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегрального выражения:

2x2 + 8x + 20 = 2(x2 + 4x +10)= 2(x2 + 2 2x + 22 − 22 +10)= 2((x + 2)2 + 6).

Возвращаясь к интегралу, имеем
I = ∫	dx	= ∫	dx	1	∫	dx		1	∫	d(x + 2)
			2((x + 2)2 + 6)=	2			=	2			.
	2x2 + 8x + 20					(x + 2)2 + 6				(x + 2)2 + 6

15

Ax + B

Получили табличный интеграл (см. табличную																																				формулу 11'),																					где в роли
переменной					интегрирования										выражение																(x + 2)													и			a2					= 6							(a =					).
																																																														6
Окончательно получаем I =												1	1					arctg				x +						2		+ C =							1						arctg						x +						2		+ C .
												2	6												6						dx				2			6															6
		Пример 1.15. Вычислить интеграл ∫																																						.
																											3x2				+ 5x − 2
Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене, стоящем в знаменателе:
									5		2											5								25				25							2																5		2		49
3x	2	+ 5x − 2					2	+		x −								2	+ 2						x +								−					−																						−					.
			= 3 x								=		3 x																																	= 3					x +
									3		3											6								36				36 3																							6				36
Подставим полученное выражение в исходный интеграл. Тогда
																																																		5
									dx												dx													1 ∫								d x +								6
					∫							= ∫																					=																								=
						3x		2													2								49																	5		2					49
								+ 5x − 2													5				−									3																	−
														3		x +																						x +
																					6								36																	6							36
		=			Получили табличный интеграл (см.(12)), в котором																																																							=
					роль переменной играет сумма (x + 5) и a																																						2		=		49											7
																																															36					a =						6
																			5		7																	1
										= 1	3 ln		x +						6	−	6			+ C =							1 ln				x − 3										+ C .
																			5		7														x + 2
										3	7			x +						+											7
																			6		6

II. Рассмотрим интеграл более общего вида I2 = ∫ax2 + bx + c dx .

Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции, выделив в числителе производную знаменателя. Так как производная

знаменателя равна (ax2 + bx + c)′ = 2ax + b , то преобразуем подынтегральную функцию, вынося A за интеграл и создавая в числителе выражение (2ax + b).

Для этого сначала разделим и умножим дробь на 2a, а затем добавим к 2ax число b, и, отнимем это же число в числителе дроби:

x

B

2ax +

2aB

I2 =

Ax + B

dx = A

+ A

dx =

A

A

dx =

∫ax2 + bx + c

∫ax2 + bx

+ c

2a ∫ax2 + bx + c

A

(2ax + b)+

2aB

− b

=

∫

A

dx .

2a

ax

2

+ bx + c

16

Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Разделим числитель почленно на знаменатель:

A

(2ax + b)

A

2aB

dx

I2

=

dx +

− b

=

2a ∫ax2 + bx + c

2a

A

+ c

∫ax2 + bx

A

(2ax + b)

Ab

dx

=

∫

dx

+ B

−

∫

.

2a

ax

2

+ bx

+ c

ax

2

+ bx + c

2a

Второй интеграл есть интеграл I1, вычислять который мы умеем.

В первом интеграле сделаем замену переменной t = ax2 + bx + c , dt = (2ax + b)dx . Следовательно,

∫

(2ax + b)

dx = ∫dt

= ln

t

+ C = ln

ax2 + bx + c

+ C .

2

ax + bx + c

t

Окончательно получаем:

A

2

Ab

I2

=

ln

ax

+ bx + c

+ B −

I1 .

2a

2a

Пример 1.16. Вычислить интеграл ∫

x + 3

dx .

x2

− 2x −5

Применим указанный прием. Для этого найдем сначала производную

знаменателя (x2 − 2x − 5)′

= 2x − 2 .

Выделим полученную производную в числителе подынтегральной функции. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на 2, а затем отнимем и прибавим в числителе 2. Имеем

I = ∫

x + 3

dx =

1 ∫

2x + 6

dx =

1 ∫

2x

2− 2 + 2 + 6dx =

x

2

− 2x − 5

x

2

− 2x − 5

x

2

2

− 2x − 5

=

1

∫

2x − 2

dx + 4∫

dx

.

2

x

2

x

2

− 2x − 5

− 2x − 5

Далее в первом интеграле сделаем замену t = x2 − 2x − 5, dt = (2x − 2)dx , а во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе. Получим:

1

dt

dx

1

1

x −1−

I =

∫

+ 4∫

=

ln

t

+ 4

ln

6

+C =

2

t

(x −1)

2

−6

2

x −1+

2 6

6

1 ln

2

x −1−

=

x2

− 2x −5

+

ln

6

+C .

2

6

x −1+

6

Пример 1.17. Вычислить интеграл ∫

3x − 2

dx .

5x2 −3x + 2

В подынтегральной дроби в знаменателе квадратный трехчлен, а в числителе многочлен первой степени. Находим производную знаменателя:

17

(5x2 −3x + 2)′													=10x −3								и		выделяем																полученное																						выражение															в						числителе.
Вынесем из числителя 3 за знак интеграла, умножим и разделим всю дробь
на 10, а затем в числителе отнимем и прибавим 3:
																																						2																							10x −									20
						I = ∫									3x − 2							dx = 3∫															x − 3									dx =								3																3	−3 +3
																																																											∫																			dx =
													5x2 −3x + 2																		5x2 −3x + 2																						10												5x2 −3x + 2
				3					10x −3														3							3 −							20														3									10x −3																11													dx
	=				∫														dx +						∫												3						dx =										∫																		dx −											∫												.
			10				5x			2		−3x + 2										10					5x			2		−				3x		+ 2											10						5x						2			−3x						+ 2						10								5x		2		−3x + 2
В первом интеграле сделаем замену t = 5x2																																																					− 3x + 2,																	dt = (10x −3)dx ,																			а во
втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе:
																				3			2																				3								9													9								2										3					2					31
	2															2																			2
5x		−3x + 2 = 5 x															−				x +					= 5 x											−	2							x +												−									+									x −														+					.
																																																																						= 5
																			5				5																	10											100									100										5													10							100
Таким образом																																																																													3
									3					dt			11									dx																	3											11										10								x −
				I	=							∫			−					∫																			=						ln			t				−																	arctg							10						+C =
								10						t			50												2												10													50
																									3										31																													31											31
																					x		−							+
																																	100																																						100
																								10

=103 ln 5x2 −3x + 2 − 51131 arctg 10x31−3 +C . III. Рассмотрим интеграл

dx

∫ax2 +bx + c .

Спомощью выделения полного квадрата в подкоренном выражении этот интеграл сводится в зависимости от знака a, к табличным интегралам (см. формулы 13' и 14) вида

dt

при а > 0 или

dt

при а < 0.

∫

∫

t 2 ± k 2

k 2 −t 2

Пример 1.18. Вычислить интеграл ∫

dx

.

2x2

+8x + 20

В знаменателе подынтегральной функции стоит корень из квадратного трехчлена. Поэтому преобразуем интеграл, выделив полный квадрат в подкоренном выражении:

I = ∫

dx

= ∫

dx

=

1

∫

dx

=

1

∫

d(x + 2)

.

2(x

2

+ 4x +10)

2

(x + 2)

2

2

2

2x

+8x + 20

+ 6

(x + 2)

+ 6

18

	Используя табличную формулу 14 (вместо x подставим (x + 2) и																																a =					),
																																				6
	имеем							1
																											+C .
							I =				ln	x + 2 +					(x + 2)2 + 6
								2
																				dx
	Пример 1.19. Вычислить интеграл ∫																								.
														2				−3x − 4x					2
	Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении.
						3		1											3		9							9		1			3	2			41
		2		2									2
2	−3x − 4x		= −4 x		+		x −			= −4 x				+ 2						x +			−						−			x +			−
																															= − 4
						4		2											8		64 64 2												8				64

Подставим теперь полученное выражение в исходный интеграл. Из отрицательного числа (-4) квадратный корень извлекается, поэтому, в наших

преобразованиях будем выносить из-под знака корня 4 = 2, а минус внесем в скобки. Получаем

I = ∫		dx					= ∫									dx									=	1	∫							dx								.
																										2
		2 − 3x	− 4x	2													3				41							41									3		2
									−							+		2																		+
										4			x						−															− x
																	8				64							64									8
Последний интеграл является табличным (см. формулу 13') ( a																																			2	=	41			,				3
																																					64						x +	8
в роли x), поэтому
													3
											x
			I =		1 arcsin							+ 8				+C =				1 arcsin						8x		+					3 +C .
					2								41							2								41
IV. Интеграл													64
											∫					Ax + B							dx
														ax2			+ bx + c
вычисляется с помощью таких же преобразований, как ранее при вычислении I2 .
Пример 1.20. Вычислить интеграл ∫																					x + 3										.
																				x2 − 2x − 5

Данный интеграл отличается от интеграла в примере 1.15 только наличием радикала в знаменателе. Проведем те же преобразования, что и в примере 1.15, т.е. сначала выделим в числителе производную подкоренного выражения равную (2x − 2), а затем разобьем данный интеграл на сумму двух интегралов:

19

I = ∫

x + 3

dx = 1 ∫

2x + 6

dx =

1 ∫

2x −

2 + 2 + 6dx =

x

2

x

2

2

− 2x − 5

2

− 2x − 5

2

x − 2x − 5

= 1 ∫

2x − 2

dx + 4∫

dx

.

x

2

− 5

x

2

− 2x − 5

2

− 2x

Далее в первом интеграле сделаем замену t = x2

− 2x − 5, dt = (2x − 2)dx , а во

втором интеграле выделим полный квадрат в подкоренном выражении. Получим

1

dt

dx

+ C =

I =

∫

+ 4∫

=

+ 4ln

x −1 +

(x −1)2 − 6

t

2

2

t

(x −1)

− 6

+

+ C .

=

+ 4ln

x −1

(x −1)2 − 6

x2

− 2x − 5

Пример 1.21. Вычислить интеграл ∫

2x + 6

dx .

2 −

3x − 4x

2

Выделим производную подкоренного выражения в числителе:

(2 − 3x − 4x2 )′ = −8x − 3 .

I = ∫

2x + 6

dx = 2∫

x + 3

dx =

2

1

∫−8x − 3 + 3 − 242

dx =

2 − 3x − 4x

2

2 − 3x − 4x

2

−8

2 − 3x − 4x

= −

1 ∫

−8x − 3 − 21

dx = − 1 ∫

−8x − 3

dx + 21

∫

dx

dx .

2

2 − 3x − 4x

2

2 − 3x − 4x

2

4

2 − 3x − 4x

4

4

Получили сумму двух интегралов. В

первом интеграле

сделаем

замену:

t = 2 − 3x − 4x2 ;

dt = (−8x − 3)dx ,

во

втором

интеграле

выделим

полный

квадрат в знаменателе (см.пример 1.18).

Таким образом, будем иметь

I = −

1

∫

dt

+

21∫

dx

= −

1

+ 21∫

dx

=

t

4

2

t

41

3

2

41

3

2

4

+

8

4

− x

− x +

64

8

64

8

= −1

21arcsin

x

+

3

+ C = −1

+ 21arcsin

8x + 3

+

8

+ C .

2 − 3x − 4x2

2 − 3x − 4x2

2

8

41

2

8

41

8

1.5. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции. Как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по формуле d(uv)= udv + vdu .

20

Откуда ∫d(uv)= ∫udv + ∫vdu . Учитывая, что ∫d(uv)= uv + C , получим

uv = ∫udv + ∫vdu

или

∫udu = uv − ∫vdu

(1.12)

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.

Применим, например, формулу (1.12) к функциям u(x)= x и v(x)= ex :

∫x d(ex )= x ex − ∫ex d(x).

Так как d(ex )= ex dx , а d(x)= dx , то получили равенство, в котором интеграл, стоящий в правой части, табличный:

∫xex dx = x ex − ∫ex dx = xex − ex + C .

Формула интегрирования по частям позволила выразить интеграл, в котором присутствовали степенная и показательная функции, через интеграл, в котором одна из этих функций (степенная) исчезла, являющийся табличным. Это произошло потому, что у некоторых функций производная «лучше», чем сама функция, например у степенной функции с целым показателем,

	(xn )′ = nxn−1 , у логарифмической		функции,	loga x =	1		, у	обратных
					x ln a
						1
					′
	тригонометрических	функций,	например	(arctgx) =				.	Если
							1 + x2

подынтегральная функция содержит множителем одну из перечисленных функций и нельзя избавиться от этой функции, заменяя ее новой переменной, то применяют формулу интегрирования по частям, в которой в качестве u(x)

берут эту «неудобную» функцию.

Формула интегрирования по частям всегда применяется для интегралов

∫xk sin axdx ,	∫xk cosaxdx ,	∫xk eax dx,	∫xk ln xdx,
∫xk arctgaxdx,	∫xk arcsin axdx , (k N,		a R).

Рассмотрим подробнее применение формулы (1.12). Пример 1.22. Вычислить интеграл ∫xsin 2xdx .

Применим формулу (1.12). Обозначим u = x , dv = sin 2xdx.

Если ввести обозначение u и dv , то для применения формулы (1.12) остается по выбранной функции u найти ее дифференциал du = u′ dx, а по заданному дифференциалу dv неизвестной функции v найти эту функцию. Очевидно,

∫dv = v + C , поэтому в качестве v можно взять любую из функций, найденных при интегрировании, взяв конкретное значение постоянной С. В

21