3.2. Периодические граничные условия

Эти граничные условия были введены М. Борном и Т. Карманом [15] при разработке

ими динамической теории кристаллических решёток. Они представляют собой требование периодичности смещений атомов с периодом макрокристалла , т.е.

( l, (3.6)

где - радиус-вектор, характеризующий положение l -той элементарной ячейки в кристалле, а - радиус-вектор, характеризующий положение -го атома внутри этой элементарной ячейки [16]. Разобъём всё прямоугольное пространство на кубы с длиной ребра и потребуем, чтобы волновая функция в (3.4) на противоположных гранях всех этих кубов принимала одинаковые значения. В частности, для куба периодичности, находящегося в начале координат, имеем

(3.7)

(3.8)

(3.9)

3.3. Нормировка волновой функции

Согласно статистической интерпретации волновой функции [17] плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатами в момент времени

(3.10)

Здесь звёздочкой обозначена комплексно-сопряжённая величина. Поскольку вероятность нахождения частицы в нашем нормировочном кубе равна 1, то из (3.10) следует следующее условие нормировки волновой функции

(3.11)

Отсюда , где - объём нормировочного куба.

3.4. Собственные функции и собственные значения операторов h, Hx , Hy , Hz

Подставляя (3.4) в (3.1), получим

(3.12)

где

i ħ ^{– 1} ) i ħ ^{– 1} ) i ħ ^{– 1} ) . (3.13)

Введём обозначение

i ħ ^{– 1} ) , i ħ ^{– 1} ) , (3.14)

i ħ ^{– 1} ) . (3.15) Подставляя (3.13) в (3.12), получим с помощью метода разделения переменных

, . (3.16)

Из периодичности граничных условий следует, что

(3.17)

С учетом формулы Эйлера

= (3.18)

получим

(3.19)

где - квантовые числа, причём,

(3.20) Волновая функция, удовлетворяющая уравнению (3.1), теперь имеет следующий вид

– ħ ^{– 1} ) (3.21) где собственными функциями операторов являются следующие волновые функции

2π ), (3.22)

2π ), (3.23)

2π ), (3.24) а соответствующие этим функциям их собственные значения

(3.25)

Можно показать, что являются нормированными и ортогональными друг к другу, т.е. представляют собой ортонормированную систему функций [17], для которых выполняются следующие соотношения

(3.26) То же самое можно сказать и о системах функций и

(3.27)

(3.28) Здесь - символ Кронекера, который равен 1, если , и 0, если .