5.12. Средняя энергия фотона
Согласно (5.12) и (5.14) среднее значение энергии фотона
=
(5.76) Если бы фотон
подчинялся статистике Максвелла-Больцмана,
то выполнялась бы и теорема о равномерном
распределении кинетической энергии
квазичастицы по её степеням свободы:
на каждую степень свободы приходилась
бы энергия равная
. Так как для фотона
, то уравнение (5.76) приняло бы следующий вид
(5.77)
6. Твёрдые тела. Теория идеального фононного газа
6.1. Уравнения движения упругой среды
Уравнения движения упругой среды в прямоугольной системе координат [29] имеют следующий вид
=
, (6.1)
где
- плотность упругой среды,
- компоненты вектора смещения
точки среды,
- компоненты тензора напряжений,
( j = 1, 2, 3 ) прямоугольные
координаты
,
,
.
По дважды повторяющемуся индексу
производится суммирование. Введём
компоненты тензора деформации следующим
образом [29]
+
+
(6.2) Обычно
деформации в твёрдом теле считаются
малыми. Тогда в (6.2) можно пренебречь
квадратичными членами как величинами
второго порядка малости. В этом приближении
+
(6.3)
6.2. Обобщённый закон Гука
Линейный закон связи между напряжениями и деформациями, вызванными ими, называется обобщённым законом Гука. Математически в тензорном виде он записывается так [29]
(6.4) Тензор
с постоянными компонентами
называют тензором модулей упругости
или тензором упругих констант. Из условий
симметрии тензора напряжений
следует симметрия модулей упругости
(6.5) На основании
(6.5) общее число компонент тензора
упругости равно 36. В изотропном твёрдом
теле значения упругих констант не должны
зависеть от выбора прямоугольных осей
и
поэтому [29] различных коэффициентов
только два –
,
(6.6)
(6.7)
(6.8) Остальные 24 коэффициента
равны нулю. Здесь
и
упругие постоянные Ламе, которые
полностью определяют упругие свойства
изотропных твёрдых тел. Величина
в теории упругости называется модулем
сдвига. Тогда уравнения обобщённого
закона Гука принимают следующий вид
(6.9)
где
- символ Кронекера:
,
если
,
и
,
если
,
а величина
(6.10)
называется дилатацией или относительным
объёмным расширением.