Порядок выполнения работы

1. Осуществить моделирование переходных процессов при g(t)=1(t) для усилительного, дифференцирующего и интегрирующего звеньев при К=3, Т_и = 0,5 и Т_д = 2,5.

2. Осуществить моделирование переходных процессов при g(t)=1(t) для инерционного звена первого порядка при К=1 и Т=(0,1N; 0,2N; 0,3N; 0,4N; 0,5N; 0,6N; 0,7N; 0,8N; 0,9N; 1,0N), где N – номер студента в списке группы. Для каждого переходного процесса определить время регулирования Т_р и построить зависимость Т_р=f(T).

3. Осуществить моделирование переходных процессов при g(t)=1(t) для инерционного звена второго прядка при К=1, Т=(0,2N; 0,4N; 0,6N; 0,8N; 1,0N) и  = 0,2, где N – номер студента в списке группы. Для каждого переходного процесса определить время регулирования Т_р, перерегулирование  и число колебаний n. По полученным данным построить зависимость Т_р=f(T).

4. Осуществить моделирование переходных процессов при g(t)=1(t) для инерционного звена второго прядка при К=1, =(0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0) и Т = 0,5N, где N – номер студента в списке группы. Для каждого переходного процесса определить время регулирования Т_р, перерегулирование  и число колебаний n. По полученным данным построить зависимость Т_р=f(), =f(), n=f().

5. Осуществить моделирование переходных процессов при g(t)=1(t) для последовательного соединенных инерционного звена первого порядка и звена чистого запаздывания при К=1, Т=0,5N и  = (0,2N; 0,4N; 0,6N; 0,8N; 1,0N), где N – номер студента по списку группы.

6. Сделать выводы о влиянии параметров звеньев на показатели качества переходных процессов.

2. Исследование частотных характеристик линейных систем автоматического управления

Цель работы: Изучение частотных свойств линейных систем автоматического управления и их взаимосвязей с временными характеристиками.

После выполнения лабораторной работы необходимо знать:

• Определения и виды частотных характеристик.

• Способы построения частотных характеристик.

• Определение качественных показателей процесса управления по виду частотных характеристик.

Теоретические сведения

Перед началом выполнения работы целесообразно ознакомится с разделами 2.4., 3.6. и 3.7. учебного пособия /1/. Ниже приводятся краткие теоретические сведения, достаточные для выполнения лабораторной работы.

Рассмотрим реакцию звена (системы) /2/, имеющего передаточную функцию

212\* MERGEFORMAT (.)

на синусоидальный сигнал

313\* MERGEFORMAT (.)

изображение которого по Лапласу имеет вид

414\* MERGEFORMAT (.)

В соответствии с определением передаточной функции, изображение выходного сигнала может быть представлено в виде

, 515\* MERGEFORMAT (.)

где s₁, s₂ …s_n – корни характеристического уравнения А(s)=0.

Дробно–рациональная функция 15 может быть разложена на простые дроби

616\* MERGEFORMAT (.)

где

717\* MERGEFORMAT (.)

818\* MERGEFORMAT (.)

Первые два слагаемых в правой части 16, определяемые полюсами входного воздействия, характеризуют вынужденное движение системы, а третье слагаемое характеризует свободные колебания системы, которые, при условии, что система устойчива, с течением времени стремятся к нулю.

Таким образом, изображение установившегося (вынужденного) движения может быть представлено в виде

919\* MERGEFORMAT (.)

Переходя от изображения к оригиналу, получим

Учитывая, что

, а ,

с учетом 17 получим

10110\* MERGEFORMAT (.)

Поскольку , а выражение 110 примет вид

11111\* MERGEFORMAT (.)

Из последнего выражения видно, что коэффициент усиления системы для синусоидального сигнала частотой ₁ равен модулю передаточной функции , а фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного равен ее аргументу .

В соответствии с вышеизложенным, выражение получило название амплитудо – частотной (АЧХ), а – фазочастотной характеристики (ФЧХ).

Помимо амплитудо – и фазочастотной характеристик при анализе систем автоматического управления получила распространение совмещенная амплитудо–фазовая характеристика (АФЧХ), для построения которой представим передаточную функцию звена (системы) в виде

, 12112\* MERGEFORMAT (.)

г де U() и V() – вещественная (ВЧХ) и мнимая (МЧХ) частотные характеристики.

Выражение 112 позволяет представить амлитудо–фазовую характеристику на комплексной плоскости (рис. 1.2.)

Кроме того, в соответствии с 112 вещественная и мнимая частотные характеристики связаны с амплитудно – и фазчастотной характеристиками следующими соотношениями

.

При анализе систем автоматического управления на устойчивость и качество процесса регулирования, а также при решении других задач (например, синтеза) часто обращаются к логарифмическим частотным характеристикам, которые значительно сокращают объем вычислительной работы. При построении этих характеристик используются логарифмические координаты.

В случае построения логарифмических амплитудно–частотных характеристик (ЛАЧХ) по оси ординат откладывают усиление, измеряемое в децибелах (дБ) и вычисляемое по формуле

.

Децибел является единицей логарифмической относительной величины. Изменение отношения двух величин в 10 раз соответствует изменению усиления на 20 дБ. Поскольку АЧХ представляет собой отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного, то изменение усиления на 20 дБ соответствует изменению отношения двух амплитуд в 10 раз. Если отношение двух величин равно единице, то усиление, измеряемое в дБ равно нулю (20lg1=0). Если отношение двух величин меньше единицы, то усиление, выраженное в дБ, будет отрицательным. Таким образом, отрицательное усиление (дБ) свидетельствует об ослаблении сигнала.

По оси абсцисс на графике ЛАЧХ откладывается десятичный логарифм частоты lg, но около отложенных значений пишется значение частоты . В этом случае масштаб получается логарифмическим. За изменение длины по оси абсцисс принимают октаву (увеличение частоты в 2 раза) или декаду (увеличение частоты в 10 раз).

При построении логарифмической фазочастотной характеристики (ЛФЧХ) по оси ординат откладывается фаза в линейном масштабе, а по оси абсцисс – частота в логарифмическом масштабе.

Рассмотрим передаточную функцию вида

.

После подстановки получим

.

Далее, воспользовавшись свойством логарифмов

,

получим

13113\* MERGEFORMAT (.)

Из 113 становится очевидным преимущество измерения модуля W(j) в децибелах: отдельные сомножители в числителе передаточной функции входят в 113 со знаком плюс, а в знаменателе – со знаком минус. Иными словами операция умножения при переходе к ЛАЧХ заменяется операцией сложения.

Рассмотрим второй член выражения 113

,

где – частота сопряжения.

Для частот много меньших частоты излома

. 14114\* MERGEFORMAT (.)

Для частот намного превышающих частоту излома

15115\* MERGEFORMAT (.)

Как видно из 114 при <<_i ЛАЧХ аппроксимируется прямой, совпадающей с осью частот.

Если при >>_i ЛАЧХ рассматривать как функцию lg , что возможно, поскольку частота откладывается в логарифмическом масштабе, то, как следует из 115 характеристика также может быть аппроксимирована прямой линией.

Изменение усиления при изменении частоты в 10 раз, т.е. на декаду составит

16116\* MERGEFORMAT (.)

Из 116 следует, что при увеличении частоты в 10 раз усиление увеличивается на 20 дБ. Поэтому в области высоких частот ЛАЧХ аппроксимируется прямой линией с наклоном +20 дБ на декаду.

Частоту, соответствующую точке пересечения прямых линий, аппроксимирующих ЛАЧХ в области низких и высоких частот определим, приравняв выражения 114 и 115

17117\* MERGEFORMAT (.)

Из 117 следует, что пересечение прямых линий происходит при =_i, что и объясняет название частоты _i.

К аналогичным выводам, можно прийти, рассмотрев четвертое и пятое слагаемые в 113. Однако поскольку эти слагаемые отрицательны, то наклон аппроксимирующей прямой в области высоких частот составит -20 дБ на декаду.

ЛАЧХ соответствующая третьему слагаемому в 113, аппроксимируется прямой с наклоном -20 дБ на декаду пересекающей ось частот в точке .

ЛАЧХ соответствующая первому слагаемому в 113 представляет собой прямую линию параллельную оси частот и проходящую на уровне 20lgК.

Таким образом, построение ЛАЧХ проводится в два этапа. На первом этапе строятся аппроксимирующие (асимптотические) ЛАЧХ элементарных звеньев, а на втором этапе эти ЛАЧХ графически складываются, что следует из 113.