Теоретические сведения

Перед началом выполнения работы целесообразно ознакомится с разделом 3.8.3. учебного пособия /1/. Ниже приводятся краткие теоретические сведения, достаточные для выполнения лабораторной работы.

Показатели качества замкнутой системы можно определить, имея картину расположения нулей и полюсов ее передаточной функции на плоскости корней.

Пусть система автоматического регулирования описывается дифференциальным уравнением в операторной форме. Тогда преобразование Лапласа для выходной координаты y(t) системы можно представить в виде

, 34134\* MERGEFORMAT (.)

где В(s) – полином числителя передаточной функции замкнутой системы по каналу передачи управляющего воздействия u(t); A(s) – характеристический полином замкнутой системы;

- полином, определяющий влияние начальных условий на переходный процесс в системе; y_o, ….,y_n-1 -.начальные значения фазовых координат регулируемой величины; n – порядок характеристического полинома системы.

Первый член уравнения характеризует влияние управляющего (или возмущения, если передаточная функция или дифференциальное уравнение записываются относительно возмущающего f(t)) воздействия u(t) на систему, а второй – воздействие начальных условий. При нулевых начальных условиях второе слагаемое уравнения 134 равно нулю.

В частном случае, когда передаточная функция не имеет нулей, переходной процесс зависит только от распределения полюсов передаточной функции, а его изображение определяется выражением

О казывается, что характер переходного процесса определяется расположением полюсов на комплексной плоскости, а именно тем, какую часть плоскости они занимают. Для ограничения области распределения полюсов обычно используются понятия степени устойчивости , колебательности  и абсолютного значения вещественной части наиболее удаленного от мнимой оси полюса (рис. 1.9).

Степенью устойчивости называется абсолютная величина вещественной части корня, расположенного ближе всех остальных к мнимой оси. Отношение мнимой части  к действительной  в паре комплексно сопряженных корней, дающих наибольший угол , называется колебательностью.

Таким образом, три указанных характеристики распределения полюсов передаточной функции образуют трапецию ABCD, внутри которой должны располагаться корни характеристического уравнения замкнутой системы, переходной процесс в которой удовлетворяет заданной колебательности и степени устойчивости. При этом следует помнить, что основное влияние на поведение системы оказывают корни характеристического полинома, наиболее близко расположенные к мнимой оси.

Понятие степени устойчивости тесно связано с быстродействием системы (длительностью переходного процесса). Ближайший к мнимой оси вещественный корень  определяет наименее быстро затухающую составляющую переходного процесса y_i(t)=С_iе^-t. Таким образом, если за время t_рег эта составляющая уменьшится и примет значение y_i(t_рег)=×С_i, то длительности переходного процесса составит

,

где  - числовая характеристика, показывающая во сколько раз уменьшится выходная величина за время регулирования.

К аналогичному соотношению, можно прийти, рассматривая переходной процесс, обусловленный парой комплексно сопряженных корней -j, для которого справедливо y_i(t)=С_iе^-tsin(t+).

Коэффициент относительного затухания  связан с колебательностью следующим соотношением

.