6.4 Закон сложения скоростей

Движение тел в пространстве K или выражается через координаты соответственно систем K и . Поскольку связь между координатами установлена преобразованиями Лоренца, то несложно получить связь между компонентами скорости в одной и другой системах отсчета.

Рассмотрим этот вопрос для частного случая, когда материальная точка движется в системе K параллельно оси x со скоростью u. В этом случае проекции скорости материальной точки в системе K будут равны:

.

Проекции скорости этой материальной точки в системе K¹ будут

.

Так как то .

На основании преобразования Лоренца

;

имеем

; (6.4.1)

. (6.4.2)

Разделив уравнение (6.4.1) на (6.4.2) получим

. (6.4.3)

Аналогично, с учетом знака относительной скорости , можно получить

. (6.4.4)

Соотношения (6.4.3) и (6.4.4) определяют релятивистский закон сложения скоростей для рассмотренного частного случая движения материальной точки.

Пример. Пусть объект (фотон ) в системе движется со скоростью . То из (6.4.3) следует, что

.

Этот результат не является удивительным, так как в основе преобразований Лоренца лежит постулат о постоянстве скорости света в вакууме.

Если мы положим u = c, то после подстановки в (6.4.4) получим для скорости значение равное с. Так как складываемые скорости реальных тел не могут превышать величины с, то и результирующая скорость не может превысить с.

При << c формулы (6.4.3) и (6.4.4) переходят в формулы сложения скоростей классической механики. Закон сложения скоростей классической механики – частный случай сложения скоростей релятивистской механики.

Лекция 7

7. Следствия из преобразований лоренца

7.1. Длина тела в различных исо

Покажем, что размеры l всех тел, покоящихся в системе , оказываются в системе K сокращенными в направлении .

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси и покоящийся относительно системы (лежит в движущейся ракете) (рис. 7.1.1).

Длина тела в системе : где и - не изменяющиеся со временем координаты начала и конца стержня. Относительно системы K стержень движется вместе с системой со скоростью . Поэтому для определения его длины необходимо измерить координаты его концов х₁ и х₂ в один и тот же момент времени ( ) по двум часам. Длина стержня в системе K равна . Воспользовавшись формулами преобразования координат, получим

т.е.

- лоренцево сокращение длины (7.1.1)

.

Длина стержня l, измеренная в системе относительно которой он движется, оказывается меньше длины l₀, измеренной в системе относительно которой стержень покоится.

Становится ли стержень на самом деле «короче»? Прежде всего, ясно, что никакого реального сокращения длины не происходит. Это следует из основного принципа – принципа равноправия всех инерциальных системах отсчета. Во всех инерциальных системах отсчета физическое состояние стержня одно и тоже. Поэтому не может быть и речи о возникновении каких-либо напряжений и деформаций, ведущих к сокращению стержня. «Укорочение» стержня происходит исключительно в силу различных способов измерения длины в 2-х системах отсчета.

В каждой инерциальной системе отсчета тело имеет свою длину, т.е. свой масштаб. Сохранение длины – прямое следствие конечности скорости света. При <<c лоренцовым сокращением можно пренебречь ( ).

Например, сокращения диаметра Земли в направлении движения по орбите составляет 6,5 см.

В настоящее время релятивистские скорости достигнуты в лабораториях, например, при ускорении протонов в синхрофазотроне в г. Дубне наблюдается сокращение в 11 раз ( с. ).