24.5. Третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме
В математике дивергенцией вектора называют выражение
.
Теорема Гаусса позволяет перейти от интегрирования по площади поверхности к интегралу по объему, который охватывает эта поверхность: поток вектора , характеризующего некоторое поле, через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу от дивергенции вектора , взятому по объему V, который охватывает эта поверхность,
.
(24.5.1)
1) В третьем уравнении Максвелла
(24.5.2)
заменим левую часть уравнения, применив теорему Гаусса (24.5.1),
.
(24.5.3)
Правую часть
уравнения выразим через объемную
плотность электрического заряда
,
тогда электрический заряд равен
.
(24.5.4)
Подставляя полученные формулы (24.5.3) и (24.5.4) в третье уравнение Максвелла (24.5.2), получаем
.
Сравнивая выражения под интегралами, можно записать
.
Это выражение называется третьим уравнением Максвелла в дифференциальной форме.
2) Аналогично можно получить четвертое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.
В четвертом уравнении Максвелла в интегральной форме
(24.5.5)
заменим левую часть уравнения, применив теорему Гаусса (24.5.1),
.
(24.5.6)
Сравнивая формулы (24.5.5) и (24.5.6), получаем
,
отсюда следует четвертое уравнение Максвелла в дифференциальной форме
.
Таким образом, система уравнений Максвелла в дифференциальной форме имеет следующий вид:
; ;
; .
Анализируя полученные уравнения Дж. Максвелла сделал вывод, что электрические и магнитные поля, порождая друг друга, образуют электромагнитное поле, которое распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны.
Скорость электромагнитной волны в среде имеет следующий вид:
.
В вакууме
диэлектрическая проницаемость среды
равна единице
и магнитная проницаемость среды равна
единице
,
поэтому можно записать
= с.
Подставляя значения электрической и магнитной постоянной, получаем значение скорости электромагнитной волны в вакууме
с =
.
В веществе скорость электромагнитной волны можно рассчитать по формуле
.
Теория Дж. Максвелла была подтверждена в 1888 г., когда Г. Герц впервые осуществил излучение и прием радиоволн с помощью колебательного контура.
Литература
1. Детлаф А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. - М.: Высшая школа, 1989.
2. Савельев И.В. Курс общей физики / И.В. Савельев. - М.: Наука, 1987. - Т. 1, 2.
3. Трофимова Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. - М.: Высшая школа, 2003.