9.2. Поток вектора электрического смещения (индукции)

Рассмотрим площадку S, которую пронизывают линии смещения однородного электрического поля. Если линии смещения перпендикулярны площадке (рис. 9.2.1, a), то потоком вектора смещения называется количество линий смещения электрического поля, проходящих через некоторую поверхность нормально к этой поверхности:

, (9.2.1)

где - единичный вектор, нормальный к площадке S.

Если площадка S не перпендикулярна вектору , а составляет с ним некоторый угол (см. рис. 9.2.1, б), то ее будет пронизывать меньшее число линий смещения. В этом случае поток вектора смещения через площадку будет определяться выражением

. (9.2.2)

Если же поверхность не плоская (рис. 9.2.2) или же электрическое поле не однородно, то ее можно разбить на элементарные плоские площадки dS в пределах, которых электрическое поле можно считать однородным, и вычислить элементарный поток вектора смещения

. (9.2.3)

Тогда полный поток смещения через поверхность S будет равен

. (9.2.4)

Поток вектора смещения есть величина скалярная, но имеющая знак. Если линии выходят из поверхности, то считается положительным (см. рис. 9.2.2), если же вектор входит в поверхность, то отрицательный. При этом за положительное направление вектора (нормали к поверхности) принимается направление наружу. Тогда, если

; ; .

Единица измерения в СИ - кулон (Кл). Во многих случаях мы будет иметь дело с потоком через замкнутую поверхность, то есть через поверхность, ограничивающую замкнутый объем, подобно шару или футбольному мячу (рис. 9.2.3). В таком случае результирующий поток смещения через поверхность записывается в виде

, (9.2.5)

где знак означает, что интеграл берется по замкнутой поверхности.

Поскольку поток, входящий в замкнутый объем, отрицательный, а поток, выходящий из объема, положителен, то формула (9.2.5) выражает, таким образом, величину результирующего потока из объема, ограниченного замкнутой поверхностью.

На рис. 9.2.3 число линий смещения, входящих в объем, равно числу линий выходящих, поэтому , то есть результирующий поток через поверхность равен нулю.

Поток отличен от нуля лишь в том случае, когда какое-то число линий смещения начинается или заканчивается внутри замкнутой поверхности. А поскольку линии смещения могут начинаться или заканчиваться только на электрических зарядах, поток будет отличен от нуля лишь в том случае, когда суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Например, на рис. 9.2.4 число входящих в S линий смещения больше числа выходящих, значит поток отрицателен.

9.3. Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем.

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Пусть электрическое поле создается положительным точечным зарядом q, расположенным внутри объема, ограниченного замкнутой произвольной поверхностью S. На этой поверхности выделим элементарный участок площадью dS, через который проходит вектор смещения поля.

Расстояние от заряда q до dS пусть равно r (рис. 9.3.1). Выделим у заряда q телесный угол, опирающийся на элементарную площадку dS.

Мерой телесного угла , как известно, служит отношение площади, вырезаемой конической поверхностью на сфере произвольного радиуса r с центром в вершине конической поверхности, к квадрату радиуса (см. рис. 9.3.3).

.

Элементарный поток смещения через площадку dS будет равен

, (9.3.1)

где .

В соответствии с соотношением (9.1.) для точечного заряда смещение в точке на расстоянии r от него определится выражением

. (9.3.2)

Тогда элементарный поток смещения будет равен

, (9.3.3)

где - элементарный телесный угол с центром в q(см. рис. 9.3.3).

С учетом (9.3.2) и значения выражение (9.3.3) перепишется в следующем виде:

. (9.3.4)

Интегрируя это выражение по всей замкнутой поверхности S, то есть, по телесному углу в пределах от 0 до 4 , находим поток смещения электростатического поля точечного заряда q сквозь замкнутую поверхность S, охватывающую этот заряд

. (9.3.5)

Таким образом, поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен электрическому заряду, окруженному этой поверхностью.

Отметим, что при вычислении потока смещения векторы малых участков замкнутой поверхности S нужно направлять по внешним нормалям, то есть вовне из области, ограниченной этой поверхностью.

При выводе соотношения (9.3.5) мы предполагали, что заряд q > 0. Однако оно справедливо и в том случае когда q < 0.

Если замкнутая поверхность S не охватывает заряд q (рис. 9.3.4), то каждый элементарный телесный угол входит под интеграл (9.3.5) и со знаком плюс (для элемента поверхности , внутренняя сторона которого видна из точки размещения заряда), и со знаком минус (для элемента поверхности , внешняя сторона которого видна из точки размещения заряда).

Рис. 9.3.4

Следовательно, в этом случае в результате интегрирования по углам мы получим нуль, откуда и .

Теперь рассмотрим случай, когда внутри произвольной замкнутой поверхности находится не единственный заряд q, а n точечных зарядов: Для каждого заряда в отдельности в соответствии с (9.2.5)

. (9.3.6)

В силу принципа суперпозиции электрическое смещение , создаваемое всеми зарядами, равно сумме электрических смещений , создаваемых каждым зарядом в отдельности:

(9.3.7)

поэтому

. (9.3.8)

Эти достаточно простые рассуждения показывают, что теорема Остроградского-Гаусса справедлива для любого распределения электрических зарядов внутри любой замкнутой поверхности. Однако следует иметь в виду, что поле не обязательно обусловлено только зарядами q, которые размещены внутри поверхности. Например, на рис. 9.3.4 поле существует во всех точках поверхности, однако оно создается вовсе не зарядом внутри поверхности (здесь q=0). Теорема Остроградского–Гаусса справедлива для потока смещения электрического поля через любую замкнутую поверхность. Она утверждает, что если поток направленный внутрь поверхности, не равен потоку, направленному наружу, то это обусловлено наличием зарядов внутри поверхности.