2.3. Соотношение между угловыми и линейными величинами

Угловое ускорение для всех точек тела, так же как и и одинаково. Поэтому вращательное движение удобно характеризовать не линейными , а угловыми кинематическими параметрами . Между ними существует однозначная зависимость.

Тангенциальное (касательное) ускорение равно

. (2.3.1)

Нормальное ускорение равно

. (2.3.2)

Как нормальное, так и касательное ускорение растет линейно с увеличением расстояния r от точки до оси вращения.

В случае равнопеременного вращения .

.

Лекция 3

3. Динамика поступательного движения

3.1. Сила. Первый закон ньютона

До сих пор мы рассматривали перемещение тел в зависимости от времени. Вопросов же, связанных с взаимодействием тел, которое ведет к изменению состояния движения, мы не касались. Эти вопросы относятся к области динамики. Основные положения динамики были сформулированы Ньютоном в «Математических началах натуральной философии» (1687) в виде трех законов движения.

Динамика – раздел механики, изучающий движение тел под действием приложенных к ним сил. В ее основе лежат законы Ньютона.

Основная задача динамики сводится к нахождению функциональной зависимости: пройденного пути как функции от времени и приложенной силы:

.

Сила F – это векторная физическая величина, которая является мерой механического взаимодействия материальных объектов.

Результат действия силы зависит от:

- численного значения (величины);

- направления в пространстве;

- точки приложения.

По наличию и действию силы можно судить о динамическом проявлении силы, т.е. по тем ускорениям, которые сила сообщает взаимодействующим телам; а также статическом проявлении, т.е. по тем деформациям, которые сила вызывает.

Сила обладает следующими свойствами:

- точка приложения силы может быть перенесена по линии действия силы;

- если к данному телу одновременно приложено несколько сил, то каждая из них действует так, как если бы других сил не было.

Это получило название принципа независимого действия или принципа суперпозиции.

Последнее свойство дает возможность находить равнодействующую сил, приложенных к данному телу, по правилу сложения векторов.

Равнодействующая сила - это сила равная геометрической сумме всех сил, действующих на тело.

.

Сила возникает как при непосредственном контакте (давления прижатых друг к другу тел, трения), так и через посредство создаваемых телами полей (поле тяготения, электромагнитное поле).

Виды сил

На любое тело вблизи поверхности Земли действует сила тяготения F, под влиянием которой согласно второму закону Ньютона тело начинает двигаться с ускорением, называемым ускорением свободного падения g. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила называемая силой тяжести (направлена к центру Земли).

Согласно фундаментальному физическому закону Галилея все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением.

Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,78 м/с² на экваторе до 9,832 м/с² на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси и сплюснутостью Земли (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 км и 6357 км). Так как различие g невелико, то ускорение свободного падения, постоянное число используемое при решении задач, принимается равным 9,8 м/с².

Сила всемирного тяготения – сила, с которой притягиваются все тела во Вселенной.

Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном: две материальные точки притягиваются друг к другу с силами, модуль которых прямо пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности называют гравитационной постоянной и обозначают G.

Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя материальными точками массой по 1 кг, расположенными на расстоянии 1 м:

Закон всемирного тяготения для тела находящегося у поверхности Земли

где М_з – масса Земли;

R_з = 6400 км – радиус Земли.

С другой стороны, приравнивая с предыдущим равенством, получим: - ускорение свободного падения у поверхности Земли. Если тело находится на высоте h от поверхности Земли, то

Тогда ускорение свободного падения на высоте

Следовательно, с увеличением высоты от поверхности Земли ускорение свободного падения уменьшается.

Вес ( ) – это сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения.

Эта сила равна лишь в том случае если тело и опора (или подвес) неподвижны относительно Земли.

В случае их движения с некоторым ускорением вес не будет равен . Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.

Вывод: сила тяжести действует всегда, а вес появляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением отличным от .

Сила реакции опоры ( ) - это сила, с которой опора действует на находящееся на ней тело (направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения тел).

Сила трения – сила сопротивления, направленная вдоль поверхности соприкасающихся тел в противоположную сторону движения тела (зависит от их относительных скоростей, а также от материала из которого они изготовлены и качества их обработки).

Пусть тело лежит на горизонтальной поверхности и к нему приложена горизонтальная сила .

Рис. 3.1.1

Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила будет больше силы трения . Амонтон (фр.) и Кулон (фр.) экспериментально установили закон: сила трения скольжения прямо пропорциональна силе N нормального давления.

, где  - коэффициент трения скольжения, зависящий от материала, из которого изготовлены соприкасающиеся поверхности тела, от качества их обработки.

Сила, вызванная деформацией тел, и препятствующая изменению объема или формы тела называется силой упругости.

Деформация - изменение объема и/или формы тела. Деформация называется упругой, если после снятия внешнего воздействия тело возвращается в исходное состояние. Виды деформаций:

- растяжения;

- сжатие;

- изгиб;

- кручение;

- сдвиг.

При небольших деформациях растяжения или сжатия сила упругости прямо пропорциональна деформации и направлена в сторону противоположную ей (закон Гука).

, (3.1.1)

где k – коэффициент упругости (жесткости), численно равный силе, при которой абсолютное сжатие равно 1 м

зависит от свойств материала и геометрии деформируемого тела. Знак «-» говорит о том, что растяжение х и F_упр всегда направлены в противоположные стороны. Т.е. сила упругости препятствует деформации тела.

П ри возникает сила, стремящаяся вернуть телу первоначальные размеры и форму, - внешняя сила (рис. 3.1.2.)

Согласно (3.1.1) сила упругости зависит от абсолютного сжатия x линейно. При больших деформациях этот линейный закон нарушается и мы попадаем в область так называемых пластических деформаций, когда деформация х будет увеличиваться при одном и том же значении напряжения. Чтобы исключить влияние размеров тела, вводится напряжение, возникающее в твердом теле: Н/м² = Па - это сила, действующая на единицу площади поперечного сечения тела, где S – площадь сечения на которую действует деформирующая сила F.

О степени деформации тела можно судить по относительной деформации. Поскольку мы не можем сказать, является ли растяжение на 1 мм существенной деформацией или нет, пока не укажем размеры тела. Для стержня длиной 10 м это будет маленькая деформация, для стержня длиной 5 мм – большая. Итак, относительная деформация

где l₀ – длина тела до деформации (начальная длина).

Закон Гука (иначе): относительная деформация прямо пропорциональна напряжению, возникающему в твердом теле.

. (3.1.2)

– модуль Юнга. Его физический смысл : модуль Юнга численно равен напряжению, возникающему в твердом теле при относительной деформации равной единице (т.е. при увеличении длины тела вдвое):

.

Из физического смысла модуля Юнга следует, что модуль Юнга Е является большим по числовому значению, например для Al: Па.

Формулу (3.1.2) можно записать в виде:

вторая форма записи закона Гука.

Откуда , вторая форма записи закона Гука. Обозначив и учитывая, что , придем к формуле (3.1.1).

В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон, установленный еще Галилеем.