10.4. Эквипотенциальные поверхности
Потенциал
электрического поля представляет собой
функцию, меняющуюся от точки к точке.
Однако всегда можно выделить совокупность
точек, потенциалы которых одинаковы.
Например, если заряд перемещается в
направлении, перпендикулярном силовой
линии (к вектору E)
(см. рис. 10.3.1), то 
и
.
Следовательно, во всех точках кривой, перпендикулярной к силовым линиям, потенциал одинаков.
Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью.
Разность потенциалов между любыми двумя точками этой поверхности равна нулю и при перемещении заряда из одной точки в другую работа не совершается:
Тот факт, что силовые линии электрического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, помогает построению последних, если известна картина силовых линий. Уславливаются эквипотенциальные поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля: чем гуще они расположены, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности.
В соответствии с характером зависимости E от r эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще.
Для однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой ряд равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению поля.
Н
апример,
на рис. 10.3.2 изображено несколько
эквипотенциальных линий для поля между
параллельными пластинами, разность
потенциалов которых составляет 12 В.
Эти линии принадлежат эквипотенциальным поверхностям, которые пересекают рисунок перпендикулярно его плоскости.
Потенциал отрицательной пластины условно принят за нулевой.
Эквипотенциальные линии для случая двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов показаны сплошными линиями на рис. 10.3.3.
Примеры вычисления разности потенциалов
некоторых заряженных тел
Поле равномерно заряженной сферы (точечного заряда) (рис. 10.3.4).
;
;
.
Внутри сферы
.
Поле равномерно заряженного цилиндра (нити).
.
СИ:
.
Внутри цилиндра
.
Поле равномерно заряженной плоскости (рис. 10.3.5).
Для плоскости:
;
;
потенциал на расстоянии r от заряженной плоскости
СИ:
.
Поле двух параллельных равномерно заряженных плоскостей (рис. 10.3.6).
;
.
СИ:
,
где
и
потенциалы 1ой
и 2ой
поверхностей;
- расстояние между ними.
Две металлические параллельные плоскости, находящиеся на очень малом расстоянии друг от друга, образуют плоский конденсатор.
Лекция 11 проводники в электрическом поле
11.1. Распределение зарядов в проводнике
Проводниками называются вещества, в которых какая-то часть электрических зарядов может "свободно" перемещаться по всему объему тела.
Кристаллическая решетка металлов отличается от решеток других кристаллических веществ тем, что в ее узлах размещаются положительные ионы - "атомные остатки". Часть электронов, компенсирующих их заряды, не "привязаны" к каким-то определенным положениям равновесия и могут свободно "гулять" между ионами, находясь в хаотическом поступательном движении подобно молекулам идеального газа. Такие электроны называют свободными электронами или электронами проводимости.
Электрические свойства проводников определяются поведением электронов проводимости. В отсутствии внешнего поля электрические поля электронов проводимости и "атомных остатков" взаимно компенсируются. Если металлический проводник размещается во внешнем электростатическом поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяются таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов проводимости и положительных ионов скомпенсировало внешнее поле (рис. 11.1.1).
Рис. 11.1.1
Явление перераспределения зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатического поля называется электростатической индукцией.
Возникающие при этом на проводнике заряды, численно равные друг другу, но противоположные по знаку, называются индуцированными (наведенными) зарядами. Индуцированные заряды исчезают, как только проводник удаляется из электрического поля.
Вектор
напряженности поля у поверхности
проводника в точке А
направлен по нормали к поверхности (
),
так как касательная составляющая вектора
этой
же точке (рис. 11.1.2) вызвала
бы перемещение носителей тока по
поверхности проводника, что противоречит
условию равновесия зарядов в проводнике,
находящемся в электростатическом поле.
О
тметим
некоторые условия, которые выполняются
для проводника, размещенного в
электростатическом поле.
1. Во всех точках
внутри проводника напряженность равна
нулю
.
2. Напряженность в любой точке на поверхности проводника равна нормальной составляющей напряженности (см. рис. 11.1.2)
=
.
(11.1.1)
3. Весь объем проводника эквипотенциален, так как, согласно
.
4. Поверхность проводника является эквипотенциальной, так как для любой линии на этой поверхности
.
5. Все не скомпенсированные заряды располагаются только на поверхности проводника, так как согласно теореме Остроградского - Гаусса, заряд q, охватываемый произвольной замкнутой поверхностью S, проведенной внутри проводника, равен нулю.
.
поскольку во всех точках поверхности S, находящихся внутри проводника, напряженность поля равна нулю (а значит и D = 0).
Найдем связь
напряженности и электрического смещения
электростатического поля вблизи
поверхности проводника с поверхностной
плотностью
свободных зарядов на проводнике, для
чего воспользуемся теоремой Остроградского
- Гаусса. Выделим на поверхности S
проводника произвольную малую площадку
dS
с зарядом
построим на ней цилиндр с образующей
dL,
перпендикулярной площадке dS,
и с основаниями, равными величине dS
(рис. 11.1.3).
На поверхности
проводника и вблизи нее векторы
и
направлены перпендикулярно к этой
поверхности.
П
оэтому
поток вектора смещения
сквозь боковую поверхность цилиндра
равен нулю. Поток
сквозь
нижнюю площадку также равен нулю, так
как она лежит внутри проводника, и во
всех точках внутри проводника
.
Следовательно, поток вектора смещения сквозь всю цилиндрическую замкнутую поверхность равен потоку сквозь одно верхнее основание цилиндра:
.
По теореме Остроградского – Гаусса
Из последнего
выражения непосредственно следует, что
и
то есть, напряженность
электрического поля вблизи поверхности
проводника прямо пропорциональна
поверхностной плотности зарядов.
Согласно (11.1.1)
то есть, напряженность равна быстроте убывания потенциала электростатического поля на единицу длины в направлении внешней нормали к поверхности проводника. Следовательно,
,
(11.1.3)
а значит, поверхностная плотность свободных зарядов на остриях и выступах больше, чем на других участках поверхности тела, имеющих меньшую кривизну (рис. 11.1.4).
Э
то
обстоятельство приводит к явлению,
известному под названием "электрического
ветра". В достаточно сильном
электрическом поле вблизи заряженного
острия происходит ионизация воздуха.
Ионы, заряженные одноименно с острием,
движутся от него, увлекая за собой
частицы воздуха, и вызывают образование
«электрического ветра» направленного
от острия.
Заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с проводника и уносится ветром, поэтому это явление называют также истечением заряда с острия.