книги / Неразрушающий контроль параметров тонких проводящих пленок электромагнитными методами

32	2. Теория неразрушающего электромагнитного контроля

Рис. 2.2.	Эквивалентная	Рис. 2.3. Электрическая
электрическая	модель дис-	схема одной ячейки
кретной пленки

было показано выше, электрической проводимостью межостровко­ вых промежутков. При взаимодействии с ВЧ-полем электрическая проводимость межостровковых промежутков становитстя комплек­ сной величиной, которая качественно может быть записана в виде

(2.5)

где С — межостровковая емкость.

Электрическая модель такой дискретной пленки стоит из одинаковых комплексных сопротивлений Z каждое из которых входят сопротивление островка

г

До

o0dr ’

(рис. 2.2) со­ (рис. 2.3), в

(2.6)

межостровковое сопротивление на постоянном токе

	Rsо	А		(2.7)
		Gnodr
	и шунтирующая емкость	&ndr
	С			( 2.8)
		Т ”	’

где d — высота островков (условная толщина слоя); А — рассто­ яние между островками; г — радиус островков; еп — эффективная диэлектрическая проницаемость материала межостровкового про­ межутка.

Для такой симметричной модели полное горизонтальное сопро­ тивление цепи, состоящей из п сопротивлений по вертикали и т по горизонтали,

пт -— ——— L7.

П

2.1. Особенности взаимодействия электромагнитных полей с пленками

33

Сопротивление условного квадрата пленки (импеданс квадрата по­ верхности) Zs=Z (т = п).

В общем случае неодинаковых островков и хаотичного их рас­ положения все качественные выводы остаются в силе: импеданс квадрата поверхности является комплексной величиной на высо­ ких частотах и складывается из активного сопротивления межост­ ровковых промежутков и шунтирующего действия межостровковых емкостей и при выполнении условия (2.2) определяет характер взаимодействия пленки с электромагнитным полем.

Из соотношений (2.5)—(2.8) можно записать следующее каче­ ственное выражение для импеданса квадрата поверхности остров­ ковой пленки с симметричной структурой:

(2.9)

параметр, определяющий структурные особенно-

•сти пленки; Rso — сопротивление квадрата поверхности на посто­ янном токе.

Качественные зависимости активной (Rs), реактивной (As) со’ •ставляющих и модуля |Zs| импеданса квадрата поверхности от ве­ личины соВ (частоты) (рис. 2.4) согласуются с эксперименталь­ ными зависимостями, полученными для островковых пленок (см. рис. 1.9—1.12).

Рис. 2.4. Качественные зависимогтн ак­
тивной,	реактивной составляющих	и
модуля	импеданса квадрата поверхности		i)	10'1 10° 10	Юг Igf
от частоты при /?so=10 Ом

34	2. Теория неразрушающего электромагнитного контроля
Из выражения	(2.9) следует, что для малых значений пара­

метра гоВ<С 1 импеданс квадрата поверхности равен сопротивлению квадрата поверхности, измеренному на постоянном токе. Это ус­ ловие выполняется для очень малых значений В. Например, при

В « 1 0 -12 для	оо< 1010 импеданс не зависит	от частоты. Параметр
В мал для	мелкозернистых островковых	пленок с низким Rso\

для таких пленок, как и для сплошных, пористых и сеточных ме­

таллических, можно пренебречь частотной		зависимостью импе­
данса квадрата	поверхности вплоть до СВЧ-диапазона, проводя
их аттестацию	контактными методами на	постоянном токе.

2.1.3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

ДЛЯ МОДЕЛИ ИМПЕДАНСНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Любая задача взаимодействия электромагнитного поля с тонкопленочной или другой проводящей структурой сводится к решению уравнений Максвелла для составляющих электромаг­ нитного поля [174] или уравнения Гельмгольца для вектор-потен­ циала [93, 172, 174] квазистационарного поля в изотропных сре­ дах:

V 2A +£2A= —popjcT,

(2.10)

*

где k==—ip0jio)2cr; jCT — плотность сторонних токов (внешний ис­ точник). Решение уравнений Максвелла и Гельмгольца для кон­ кретных измерительных преобразователей (излучателей поля) ле­ жит в основе всех существующих теорий электромагнитных и радиоволновых методов контроля. Решение задач взаимодействия электромагнитных полей со слоистыми структурами проводится на основе использования известных граничных условий для тан­ генциальных и нормальных составляющих поля на границе раз­ дела двух сред [174]:

•£'ltg==i^2tg» R\ig $ 2 tg= js>
k\B\n — &2E2n — Gs\	Ц1-ЙГ1п= Ц2^ 2п,	^	^
•	тока на границе	раздела	сред
где js — поверхностная плотность

1 и 2 (в классических методах обычно принимается равной нулю);. Os — поверхностная плотность зарядов (для проводящих поверх­ ностей также принимается равной нулю). Даже в случае одно­ слойной структуры классическое решение задач электродинамики для неоднородных полей приводит к сложным интегральным выражениям, неразрешимым в явном виде [93, 172]. Для одно­ родных полей классический подход к их взаимодействию с много­ слойными структурами также приводит к громоздким выра-

2.2. Взаимодействие полей с тонкопленочными структурами

35

.жениям, непригодным для инженерных расчетов [13, 174]. В обоих случаях с помощью ЭВМ рассчитываются годографы вносимых параметров для каждого конкретного случая, на основании кото­ рых определяются оптимальные режимы контроля структур. Су­ ществующие методы электромагнитного контроля в связи с этим •основываются главным образом на экспериментальных исследо­ ваниях (построение градуировочных кривых по эталонным об­ разцам).

В случае тонких пленок классический подход, предполагающий рассмотрение пленки как слоя с плоскопараллельиыми границами раздела (граничные условия (2 .11)), вообще неприменим из-за их структурных особенностей. Для точного решения уравнений электродинамики необходимо знать микроструктуру пленки со всеми электрофизическими свойствами островков, поверхностей и межостровковых промежутков, что на данном этапе развития фи­ зики и математики неосуществимо.

Введенное выше понятие импеданса квадрата поверхности тон­ кой пленки Zs дает возможность упростить решение задач взаи­ модействия электромагнитных полей с тонкопленочными струк­ турами, разработать методы контроля тонких пленок со сложным строением.

Помещение импедансной поверхности в электромагнитное поле вызывает появление на ней поверхностного тока [41, 42, 98]

	■^ltg	(2.12)
	i s

При переходе через такую поверхность граничные условия для

тангенциальных составляющих поля записываются в виде
£itg=£2tg; Й п е - H n s = - ~ - ,	(2.13)
Zs

нормальные составляющие остаются без изменений.

Граничные условия (2.13) будут являться в дальнейшем ос­ новой при решении задач взаимодействия электромагнитных по­ лей с тонкопленочными проводящими структурами.

2.2. РАСЧЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОДНОРОДНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ С ТОНКОПЛЕНОЧНЫМИ ПРОВОДЯЩИМИ СТРУКТУРАМИ

В настоящем параграфе на основе использования гранич­ ных условий (2.13) для импедансной поверхности решаются за­ дачи взаимодействия однородного поля бесконечного соленоида

36	2. Теория неразрушающего электромагнитного контроля

с многослойной тонкопленочной цилиндрической структурой, плос­ кой волны и поля открытого радиоволнового резонатора с плоскими многослойными тонкопленочными структурами.

2.2.1. ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОГО СОЛЕНОИДА

Теория взаимодействия цилиндрической проводящей мно­ гослойной структуры с однородным полем бесконечного солено­ ида [92, 93] математически сложна и требует специальных графи­ ческих построений для каждого конкретного случая.

В случае проводящей структуры, состоящей из тонких пленок, для которых выполняется условие (2 .2 ), решение задачи значи­ тельно упрощается [24]. Пленки структуры в этом случае учиты­ ваются только в граничных условиях для составляющих напря­ женностей электромагнитного поля (2.13) и рассматриваются как цилиндрические поверхности с импедансами квадрата поверхности

Zsi-

Таким образом, исследуется многослойная цилиндрическая структура с п тонкими цилиндрическими проводящими пленками радиусами tfn< . . -<Ri+i<Ri<Ri- \ < . . .<Ri, разделенными ди­ электрическими слоями. Пусть исследуемая бесконечная по оси z (направленной по оси симметрии цилиндра) структура располо­ жена в однородном поле коаксиального ей бесконечного солено­ ида радиусом a>Ri. Для такой симметричной системы в урав­ нении Гельмгольца (2.10) для вектор-потенциала электромагнит­ ного поля внутри соленоида г< а

V 2A= 0

(2.14)

останутся только компоненты Лф(г) [92]. Граничные условия для составляющих напряженностей электромагнитного поля при пе­ реходе через каждую пленку (импедансную поверхность) запи­ шутся в виде [24]

	*^1ф	£ iф — ^ 2ф	при
	5 Г
:		’
	i?2(p	Ё 2ф = £ 3ф	при
	Z S 2	'

T = R \ \

r = R 2;

(2.15)

Ё п ф	Ётир — £(п+1)ф При Г —
Н Til H ( n + \ ) z
Z s n	’

2.2. Взаимодействие полей с тонкопленочными структурами			37
Составляющие электрического и магнитного полей выражаются
через вектор-потенциал	(p = l,	среда немагнитная)	[92]:
	шА9;	дгАФ	(2.16);
—		дг
Остальные компоненты	поля	равны нулю — поле однородное.
Уравнение Гельмгольца	(2.14) перепишется в цилиндрической си­
стеме координат следующим образом:
			(2.17)
Напряженность магнитного поля в зазоре R i ^ r ^ a ,			т. е. в области

1 (Йь £i), будет равна напряженности однородного поля без про­ водящей структуры:

				Й1= Йо= ПГ,						(2.18)
где 1 — ток в соленоиде; W' — количество								витков на		единицу
длины соленоида.
Таким образом, исходя из выражений (2.16), (2.18) граничные
условия (2.15) для вектор-потенциала Лф							можно записать			в	виде
(индекс ф далее для простоты опускается)							[24]
	Ai=A2\T=Rl;		iW 'voR i-		дгА2			tcopofliAi
					дг	r«jRi		Zsi	r-Д, »
	A2=AZjг=Д2»		дгА2		дгАъ			1СОЦо^2^2
			дг		дг	T—Rn		Zs2	г—Л29
Ап—Лп+1|г=Яя » дгАп					дгАп+ 1			ШЦо^п^п		(2.19)
				т=Д,						г—В.
		дг			дг	r-Л,			Zsn
К этим		выражениям		следует	добавить условие				ограниченности
поля	в	точке г= 0	и	его однозначности			в	зазоре	Ri< r< a		(об­
ласть	1):

А„+,фсо при	г= 0; Д0= Л Г = —		d(' A|) .	(2.20)
		Но/’	ОГ
Решения уравнения (2.17) при условиях (2.19), (2.20) для
областей 1 ( R i ^ r ^ a ) ,	2 (R2^ r ^ . R i ) , ... ,i ( R i ^ r ^ .			Я»_1) ,...
. . . t n ( R n ^ r ^ R n- 1) имеют вид
	Ai^Bir-k	&		(2.21)
		Г

38	2. Теория неразрушающего электромагнитного контроля
Для	области /г+1 ( R n ^ f^ O ) ввиду необходимости	выполне­
ния условия (2 .2 0 ) получаем
	Ап+1=Вп+\Г.	(2.22)

Исходя из однозначности поля в области 1 находим из выра­

жений (2 .2 1 ) и	(2.2 2 ) коэффициент
	В,=- ЛРро	• = й .	(2.23)
Подставляя	решения (2.21) и	(2.22)	в граничные условия

(2.19) и учитывая соотношение (2.23), получаем простую алге­ браическую систему из 2 п зацепляющихся уравнений с 2 п неиз­ вестными [24]:

6R\ + £i =B2R\2-\-С2\ 6 - B 2= - i d x( Ь+:

B2R22-{-С2= BzR22+ С3; В2—В3= —id2

R22 > '

(2.24)

BiRi2-\-Ci = Bi+iRi2 + Ci+\\ Bi — Bi+\ = —iai ^ B-+

^ ;

	B n R v ? C n — B n + i R n 2]		B n — 2371+ 1==— i dn ^ Bn~\— ^ 2 ) >
где di	(OPoRi	определяет	параметры проводящей пленки с им­
	Zsi

педансом квадрата поверхности Zsi в электромагнитном поле часто­ той f =(о/2л.

Выражения (2.24) позволяют вычислить вектор-потенциал элек­ тромагнитного поля в любой точке исследуемой 2 м-слойной струк­ туры (п пленок и п диэлектрических слоев).

Зная вектор-потенциал, можно найти ЭДС, наведенную в корот­ кой измерительной катушке радиусом р с числом витков Wx [92]:

	Э = -/с о Г 1 $A dl = -i2np© U M |r.				(2.25)
Подставляя в выражение			(2.25) значения Ax {R i^ p < a ) или
Ап+ 1	(0 < p ^ /? 7i)> полученные		из решения	уравнений (2.24) с уче­
том	(2.21) — (2.23)	(обычно	измерительную катушку		помещают
в этих областях),		находим	зависимости	наведенных	в измери­

2.2. Взаимодействие полей с тонкопленочными структурами

39

тельной катушке ЭДС от импедансов квадрата поверхности и ра­ диусов тонких проводящих пленок исследуемой структуры при ее помещении в однородное поле бесконечного соленоида [24].

Рассмотрим, например, бесконечную тонкопленочную прово­ дящую четырехслойиую структуру, две проводящие пленки ра­ диусами R \> R 2, разделенные диэлектрическим слоем (диэлектри­ ческая труба с напыленными с внешней и внутренней сторон проводящими пленками), в однородном поле бесконечного соле­ ноида радиусом a>Ri. Импедансы квадрата поверхности пленок равны соответственно 2S\ и Zs2. В этом случае в алгебраической системе (2.24) останутся только четыре уравнения с четырьмя неизвестными (п=2), решение которых дает неизвестные посто­ янные Си В2, Сз, В3, определяющие значение вектор-потенциала в областях 1—3.

После подстановки найденных коэффициентов в уравнение (2.21) с учетом условий (2.22), (2.23) получаем значения векторпотенциала электромагнитного поля в областях 1—3 соответст­

венно	(если вместо			одной пленки		Zs присутствуют		расположен­
ные одна		на другой		п пленок,	все	выкладки	остаются в силе,
только	Zs	имеет	смысл полного			импеданса	1	п	1
							— =	Е	-т—) [24]:
							Zs	i= l Zsi
		.	й	- d ia 2{Ri2-R 2 2)-H{R22a2+ R i2ai)
			т	T * - W	i ... ~ * * \				i;
				l + a i f l ^ l — Б Т / ~ *(а1+а2)
		Л2=Ьг~			l — ia2		:+'■
				l+ d id 2 ( 1 —
		.	6		ia2R22				(2.26)
		+•—
			Г l+ d id 2			- i(d i+ d 2)
		Аз—Ьг			1
				1 -f did2(1 -
						—i(di+d2)

Выражения (2.26) определяют параметры электромагнитного поля бесконечного соленоида, взаимодействующего с тонкопле­ ночной четырехслойной проводящей структурой, через параметры структуры и открывают возможность разработки методики конт­ роля этих параметров исходя из измерений напряженности поля нагруженного соленоида.

40	2. Теория неразрушающего электромагнитного контроля

Используя выражения (2.25), (2.26), можно найти ЭДС, наве­ денную в короткой измерительной катушке радиусом р, распо­ ложенной в областях 1, 3 соответственно:

	Bi = n/cop0W"№iX
(R22a2+ Ri2dl) [ l+ d id 2 ( 1 - ^ j r ) ]			- d ,d 2(di+d2)(tfi2- £ 22)
X-
[ l+ d id 2 ^l	^ T ~ )j	+ (di+d2) 2
did2(Ri2- R 22) [ l+ d id 2 ( 1 -				] +
4* (di + d2) {R22d2—R\2d\)
ip2+ i
[l+ d id 2 ^ l —			+( di + d2)J
					(2.27)
Э2= я/ро tt?| W'p2®			d i+ d 2
	j^l + did2 ^ l —		) J	+ (di + d2);
	l+ aid ; ( 1	— )			1
[l+ d id 2( l - - ^ j - ) ]			+ (a ,+ d 2) 2		I
Измеряя значения 3j	и Э2 для	известных /,		0 ,	W y Wu Ru R2 ,
p, из выражений (2.27)	можно определить db d2 и соответственно

импедансы квадрата поверхности Zsu Zsi пленок.

Таким образом, методика рассмотрения тонкой проводящей пленки как импедансной поверхности Zs позволила получить ана­ литические выражения (2.26), (2.27), определяющие через эле­ ментарные функции зависимость параметров однородного электро­ магнитного поля бесконечного соленоида и ЭДС, наведенных в из­ мерительных катушках, от параметров исследуемой структуры, которые справедливы для любых значений импедансов квадрата поверхности пленок и любой частоты электромагнитного поля (при выполнении условия (2 .2 ) для каждой пленки).

Проведенные исследования открывают возможность разработки методики контроля тонкопленочных проводящих цилиндрических многослойных структур однородным полем бесконечного солено­ ида на основе полученных аналитических зависимостей.

2.2. Взаимодействие полей с тонкопленочными структурами

41

2.2.2. ПЛОСКАЯ ВОЛНА

Большинство микроволновых и оптических методов конт­ роля слоистых полупроводниковых и металлических структур ос­ новывается на теории взаимодействия плоской электромагнитной волны со слоистой структурой [9, 13, 18, 123, 187, 250, 251]. Эта теория математически сложна, и для многослойных структур при­ ходится пользоваться графическими зависимостями параметров электромагнитного поля от параметров слоя [101].

В	случае тонких	проводящих	пленок (выполнение условия
(2 .2 ))	аналитические	выражения	для коэффициентов отражения

и прохождения электромагнитной волны можно упростить. Однако упрощение первоначальных выражений для слоистой тонкопленоч­ ной структуры сопряжено со значительными трудностями (необ­ ходимость первоначального рассмотрения задачи взаимодействия электромагнитной волны со сложной многослойной структурой с дальнейшим упрощением). В случае дискретных проводящих пле­ нок постановка задачи взаимодействия электромагнитной волны с пленкой как с проводящим слоем толщиной d и удельной электри­ ческой проводимостью а становится вообще некорректной, по­ скольку понятия толщины и удельной электрической проводи­ мости дискретных пленок весьма условны.

Рассмотрение тонких пленок как импедансных поверхностей дает возможность получить простые аналитические выражения для входного импеданса, коэффициентов отражения и прохожде­

ния	плоской			электромагнитной волны сквозь	тонкопленочную
структуру			и	разработать методику контроля таких структур		в
СВЧ- и оптическом диапазонах электромагнитных волн [42,						47,
73,	85,	96,	106].
Рассмотрим взаимодействие электромагнитной плоской волны
со	структурой, входной импеданс которой £ВХо				известен (введе­

ние понятия входного импеданса структуры эквивалентно замене структуры однородным полупространством с таким же импедан­ сом ZBXo [13]). Тогда граничные условия для составляющих элек­

трического поля	на	плоской границе раздела полупространства
с импедансом	из	которого приходит волна, и исследуемой

структуры с входным импедансом ZBXo можно записать с учетом (2.11) в виде [42]

£ ,+ + £ ,- = Й>+; -Ё'+- у ' ----- (2.28)

ZBXO

где £[+, Ё\~ — напряженности электрического поля падающей и отраженной волн в области с импедансом 1\\ £о+ — напряжен­ ность поля в полупространстве с импедансом ZDXo. Для коэффн-