Задания для закрепления:

1. Выборочным путем были получены следующие данные об урожайности картофеля в фермерском хозяйстве:

Урожайность , ц/га	число, га
18	10
20	20
21	30

Определить выборочную среднюю, исправленное среднее квадратическое отклонение, выборочные моду, медиану и размах варьирования.

Ответ: ; ;;; .

2. В результате пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических погрешностей, т.е. предполагается, что математическое ожидание измерений совпадают с истинной длиной) получены следующие результаты (в мм): . Найти выборочную среднюю длину стержня, выборочную и исправленную дисперсии.

Ответ: .

3. Найти выборочную и исправленную дисперсии для следующей выборки:

Ответ:

3. Ниже приведены результаты измерения роста (в см.) случайно отобранных 100 студентов. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию роста.

(У к а з а н и е: найти середины интервалов и принять их в качестве значений )

рост	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
число студентов	10	14	26	28	12	8	2

Ответ: .

5. На телефонной станции производились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Ниже приведены результаты наблюдения в течении часа. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию количества неправильных соединений в минуту.

3; 1; 3; 4; 2; 1; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2;

1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4;

1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0;

2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5.

Ответ: ;

6. Измерительным прибором, практически не имеющим систематической погрешности, было сделано пять независимых измерений некоторой величины. Результаты измерений приведены в таблице:

номер измерения	1 2 3 4 5
результат измерения	2781 2836 2807 2763 2858

а) Найти выборочную дисперсию погрешности измерения, если измеряемая величина точно известна: 2800; б) найти выборочное среднее, выборочную и исправленную дисперсию, если точное значение измеряемой величины не известно.

Ответ: а); б) .

7. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10. Найти выборочное среднее, выборочные дисперсию, моду и медиану.

xi	0,1	0,4	0,6
ni	3	2	5

Ответ; ;;.

8. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50. Найти выборочное среднее, выборочную и исправленную дисперсию, выборочное и исправленное средние квадратические отклонения.

xi	1	2	3	4
ni	20	15	10	5

Ответ: ;

9. Предположим, что выборка проведена из генеральной совокупности со средней Х= 1,065 и средним квадратическим отклонением = 500. Объем выборки n = 100. Чему равно ожидаемое значение и среднее квадратическое отклонение выборочной средней X ?

Ответ: 1,065; 2,500.

10. Предположим, что выборка произведена из генеральной совокупности со средней X = 53 и средним квадратическим отклонением =10. Объем выборки n = 400. Чему равно ожидаемое значение и среднее квадратическое отклонение выборочной средней?

Ответ: 53 и 0,5.

11. Согласно статистическим данным средняя семья расходует на развлечения 19,50 условных денежных единиц в неделю со средним квадратическим отклонением 5,53. Чему равна вероятность того, что в случайной выборке объема n = 100 мы получим выборочную среднюю больше чем 20,00 условных денежных единиц?

Ответ: 0,1727.

12. Средний душевой доход населения страны составляет 3324 условных денежных единицы. Если произведена случайная выборка 1000 жителей, то чему равна вероятность того, что выборочная средняя отклонится от генеральной средней более чем на 0,062 средних квадратических отклонения?

Ответ:0,0499.

13. Тридцать восемь процентов студентов академии сдали экзамен по статистике на отличные и хорошие отметки. Чему равна вероятность того, что в случайной выборке из 100 студентов по крайней мере 30 окажутся с хорошими и отличными оценками по статистике?

Ответ:0,9503.

14. В среднем оптовый продавец книг реализует 1000 томов в день. Если ежедневные продажи нормально распределены со средним квадратическим отклонением s=100, то чему равна вероятность того, что средняя за пять дней будет между 900 и 1100 томами?

Ответ: 0,975.

15. Хлебный магазин продает 478 лотков батонов ежедневно. Продажи (Х) подчиняются нормальному распределению со средним квадратическим отклонением s = 17.

• Если проведена случайная выборка объемом n = 1 (неделя), то чему равна вероятность того, что значение превысит 495?

• Если случайная выборка была объемом n = 4 (недели), то чему равна вероятность того, что значение превысит 495?

• Почему ваши ответы различаются?

Ответ:

0,1587; 0,0228. Среднее квадратическое отклонение во втором случае меньше, а следовательно, и меньше шансов, что выборочная средняя превысит 495.

16. Рыболовная флотилия вылавливает в сезон ежедневно в среднем 130 тонн сельди. Записи в бортовом журнале указывают, что уловы различаются день ото дня, и эти различия, измеренные средним квадратическим отклонением, составляют 42 тонны в день. Чему равна вероятность того, что в течение З6 дней рыболовного сезона масса выловленной сельди составит 4300 тонн или больше?

Ответ: 0,9236.

17. Предположим, что среднее время пребывания в очереди к кассиру универсама составляет 12 мин со средним квадратическим отклонением 3 мин. Если вы отобрали случайным образом 5покупателей, то чему равна вероятность 1 того, что их время пребывания в очереди составит по крайней мере 10 мин? Чему равна средняя выборочная времени ожидания в очереди? Чему равно среднее квадратическое отклонение выборочной средней?

Ответ:0,9319

18. Из 500 выпускников средних школ города 72% собираются поступать в институт. Чему равна вероятность того, что среди случайно отобранных выпускников доля желающих поступить в вуз окажется выше 80%.

19. Средний процент жителей, участвующих в выборах на местном уровне в некотором регионе, составляет 40%. Чему равна вероятность того, что в случайной выборке 400 жителей окажется 35% желающих проголосовать на ближайших выборах?

Ответ: 0,9793.

20. Менеджер магазина по опыту знает, что 25% входящих в магазин покупателей совершают покупки. Предположим в магазин вошло 200 покупателей.

• Чему равна доля покупателей, совершивших покупки?

• Чему равна дисперсия выборочной доли?

• Чему равно среднее квадратическое отклонение выборочной доли?

• Чему равна вероятность того, что выборочная доля будет между 0,25 и 0,30?

Ответ: 25%; 0,0009375; 0,031; 0,4463.

21. Возраст работников отдела 23, 19, 25, 32 и 27 лет. Если проводить случайную безвозвратную выборку по два человека, то каким будет выборочное распределение их среднего возраста? Чему равно среднее и дисперсия этого распределения?

Ответ: средняя 25,2; дисперсия 6,96.

22. Предположим стоимость выборки - 50 копеек за наблюдение. Если генеральная совокупность имеет нулевую дисперсию, то каким должен быть объем выборки для оценки среднего значения генеральной совокупности?

Ответ: один.

23. Предположим, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Чему равна вероятность того, что выборочная средняя будет меньше генеральной средней?

Ответ: 0,5.

24. Предположим, что выборочное распределение выборочных средних, осуществленное из выборки объема 40, имеет выборочную среднюю 20 и среднее квадратическое отклонение 10. Предположим, что генеральная совокупность распределена нормально. Найдите среднее и среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности.

Ответ: =63,23; средняя = 20.

25. Следующие данные показывают годовой прирост на 15 различных акций: 12,2; 13; 14,8; 11; 16,7; 9, 8,3; -1,2; 3,9; 15,5; 16,2; 18; 11,6; 10; 9,5. Найдите медиану, выборочное среднее для этих данных.

26. Найдите средний, медианный и модальные доходы для данных, приведенных в задачах №11 и №12 предыдущего параграфа 3.1.

27. Правительство развивающейся страны объявило конкурс для зарубежных инвесторов, заинтересованных в заключении контракта на строительство нового морского порта. В ответ были получены следующие предложения цены (млрд. долл.): 2,3,2,4,3,5,1,1,6,4,7,2,5,1,6. Найдите медиану, выборочное среднее и размах.

28. Следующие данные представляют собой годовой процент автомобилей импортного производства в России с 1982 по 1994 гг. (данные условные): 9,5; 9,3; 12,3; 12,0; 16,6; 21,3; 21,8; 22,6; 20,9; 18,3; 20,1; 22,8. Найдите среднюю арифметическую, медиану и стандартное отклонение этих данных.

29. Двадцати подросткам, отобранным случайным образом, показали блок телевизионной коммерческой рекламы о новых сортах жевательной резинки и попросили оценить рекламу в баллах от 0 до 100. Результаты оценки дали следующие баллы: 89, 75, 59, 96, 88, 71, 43, 62, 80, 92, 76, 72, 67, 60, 79, 85, 77,83,87,53. Найдите среднюю арифметическую, дисперсию и стандартное отклонение выборочного рейтинга.

30. Имеются данные о числе тонн грузов, перевозимых еженедельно паромом некоторого морского порта в период навигации: 398, 412, 560, 474, 544, 690, 587, 600, 613, 457, 504, 477, 530, 641, 359, 566, 452, 633, 474, 499, 580, 606, 344, 455, 505, 396, 347, 441, 390, 632, 400, 582. Найдите среднюю арифметическую, стандартное отклонение и размах.

31. Служба контроля Росэнерго регулярно проводит выборочные проверки оплаты ежемесячных счетов. Случайным образом отобраны 30 адресов и выявлены суммы, которые потребители должны заплатить за пользование электроэнергией (тыс. руб.): 12, 2, 3, 5, 17, 4, 9, 21, 18, 6, 8, 19, 9, 25, 2, 10, 16, 18, 24, 1, 11, 6, 19, 23, 14, 7, 10, 26. 30, 7. Начертите гистограмму относительных частот. Найдите среднюю арифметическую, стандартное отклонение и размах.

32. Ежегодно американский журнал «Fortune» публикует список наиболее богатых людей в мире с оценками их состояний в - миллиардах US долларов. Ниже приводим результаты одной из публикаций за 1989 г.: 25.0, 20.9, 8.7, 7.5, 7.4, 6.0, 5.7, 5.5, 5.0, 5.0, 4.4, 4.0, 3.6, 3.4, 3.1, 3.0, 3.0, 2.9, 2.8, 2.8, 2.5, 2.5, 2.5, 2.4, 2.4, 2.4, 2.2, 2.0, 2.0, 2.0, 1.9, 1.8, 1.7, 1.6, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.4, 1.3, 1.3, 1.3, 1.2, 1.2, 1.2, 1.2, 1.1, 1.1, 1.1. 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0.

Начертите гистограмму абсолютных и относительных частот. Найдите среднюю арифметическую и стандартное отклонение.

33. При выборочном обследовании 50 членов семей рабочих и служащих получены данные о количественном составе семьи:

3, 2, 1, 4, 6, 3, 7, 9, 1, 3, 2, 5, 6, 8, 2, 5, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 7, 5, 6, 4, 8, 7, 4, 5, 7, 8, 6, 5, 7, 5, 6, 6, 7, 3, 4, 6, 5, 4. Определите статистический ряд, моду и медиану количества членов семьи в обследованной группе семей рабочих и служащих.

34. Ниже представлена группировка отраслей и подотраслей промышленности по темпам роста цен на изготовляемую продукцию за период с начала года.:

Сентябрь 1996 г. в % к декабрю 1995 г.	Число отраслей подотраслей, единиц
до 100,0 100,1-108,0 108,1-116,0 116,1-124,0 124,1-132,0 132,1 и выше	4 15 21 31 19 18

Найдите среднюю арифметическую и стандартное отклонение интервального вариационного ряда. Постройте гистограмму, определите моду, медиану.

14-Занятие. Методы построений оценки. Методы моментов и максимального правдоподобия

Начальный момент порядка k непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: .

Центральный момент порядка k непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:

.

Очевидно, что если k=1, то .

Центральные моменты выражаются через начальные моменты по следующим формулам: