Критерия согласия Пирсона

Пусть нулевая гипотеза Н_О состоит в том, что выборка объема n соответствует случайной величине Х с функцией распределения F_O (x). Для статистической проверки этой гипотезы используется так называемый -критерий. Разобьем числовую ось на m непересекающихся интервалов , . Положим , . Эти вероятности вычисляются по известной функции . Обозначим через число элементов попавших в интервал . За меру отклонения распределения выборки от гипотетического принимается величина:

.

К. Пирсон доказал, что в случае справедливости гипотезы Н_О распределение случайной величины при сходится к распределению с степенями свободы. Зададим уровень надежности . Находим по таблице №9 (см. Приложение) критических значений распределения такое значение , что , где по выборке имеет « хи - квадрат » распределение c k степенями свободы.

Далее по выборке вычислим значение

.

Если при этом окажется , то такое отклонение значимо, и мы с уровнем надежности отвергаем гипотезу Н_О, как не согласующуюся с опытными данными. В приложениях интервалы выбирают так, чтобы число элементов выборки в каждом из них было не очень маленьким, например .

Если распределение зависит от неизвестных параметров, то вероятности вычисляют, заменяя параметры их оценками. В этом случае должно быть уменьшено на d - на число неизвестных параметров: т.е. .

Рассмотрим подробнее следующий случай.

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

1. Весь интервал наблюдаемых значений Х (т.е. выборки объема n) делят на m частичных интервалов одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов ; в качестве частоты варианты принимают число вариант, которые попали в i - й интервал. В итоге получают последовательность равностоящих вариант и соответствующих им частот:

При этом .

2. Вычисляют выборочную среднею и выборочное среднее квадратическое отклонение .

3. Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к случайной величине и вычисляют концы интервалов и , причем наименьшее значение Z, т.е. полагают равным , а наибольшее, т.е. полагают равным .

4. Вычисляют теоретические вероятности попадания Х в интервалы по равенству

,

где Ф(z) - интегральная функция Лапласа, значения которой приведены в приложении в таблице №4.

5. И наконец, находят значение статистики :

.

6. Нормальное распределение имеет параметра, т.е. , поэтому число степеней свободы .

7. Находят по таблице №9 (см. Приложение) критических значений распределения значение .

8. Если , то с уровнем надежности , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

9. Если , то с уровнем надежности отвергается гипотеза Н_О, как не согласующаяся с опытными данными.

Решение типовых примеров:

Пример 8. (Проверка гипотезы о распределении) Через равные промежутки времени в тонком слое раствора золота регистрировалось число частиц золота, попадавших в поле зрения микроскопа. В результате наблюдений было получено следующее эмпирическое распределение:

Х i	0	1	2	3	4	5	6	7
i	112	168	130	68	32	5	1	1

В первой строке приведено число Х _i частиц золота, а во второй строке - частота (_i, т.е. число интервалов времени, в течение которых в поле зрения попало ровно Х_i частиц; объем выборки . Проверить используя критерий , согласие с законом распределения Пуассона, приняв за уровень значимости .

Решение: Нулевая гипотеза Н_О состоит в том, что выборка, представленная статистическим рядом соответствует случайной величине Х, распределенной по закону Пуассона. Найдем выборочное среднее:

.

Примем в качестве оценки параметра распределения Пуассона выборочное среднее: .Следовательно предполагаемый закон Пуассона имеет вид:

.

Найдем теоретические вероятности попадания частиц золота в поле зрение микроскопа при наличии закона Пуассона с параметром :

Объединим малочисленные частоты (5+1+1=7) и соответствующие им теоретические вероятности (0,0155+0,0040+0,0009=0,0204). В результате объединения получим следующую таблицу:

Х i	0	1	2	3	4	5
i	112	168	130	68	32	7
p i	0,2144	0,3301	0,2542	0,1305	0,0502	0,0204

Находим значение статистики . По таблице №9 (см. Приложение) по уровню надежности и числу степеней свободы находим . Так как , то нет основания отвергнуть нулевую гипотезу.

Вывод: Нет основания отвергнуть гипотезу о распределении случайного числа частиц золота, попадавших в поле зрения микроскопа, по закону Пуассона.

Пример 9. (Испытание гипотезы о нормальности распределения). Пользуясь критерием , при уровне надежности установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки объема n=100:

номер интервала	границы интервала		Частота	номер интервала	границы интервала		Частота
i	xi	xi+1	ni	i	xi	xi+1	ni
1	3	8	6	5	23	28	16
2	8	13	8	6	28	33	8
3	13	18	15	7	33	38	7
4	18	23	40

Решение: Найдем середины частичных интервалов ; в качестве частоты варианты примем число вариант, которые попали в i - й интервал. В итоге получим распределение:

Вычислим выборочную среднею и выборочное среднее квадратическое отклонение:

Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к случайной величине и вычисляют концы интервалов и .

Вычисляют теоретические вероятности попадания Х в интервалы по равенству:

,

где Ф(z) - интегральная функция Лапласа, значения которой приведены в приложении в таблице №4. Причем наименьшее значение Z, т.е. полагают равным , а наибольшее, т.е. полагают равным .

Например:

Аналогично вычисляются остальные теоретические вероятности. Ниже приведены результаты вычислений:

i	границы интервала		Ф (z i)	Ф (zi+1)	pi = Ф (z i) - Ф (z i+1)
	zi	zi=1
1 2 3 4 5 6 7	- -1,74 -1,06 -0,37 0,32 1,00 1,69	-1,74 -1,06 -0,37 0,32 1,00 1,69	-0,5 -0,4591 -0,3554 -0,1443 0,1255 0,3413 0,4545	-0,4591 -0,3554 -0,1443 0,1255 0,3413 0,4545 0,5	0,0409 0,1037 0,2111 0,2698 0,2158 0,1132 0,0455

Найдем значение статистики , для чего составим следующую расчетную таблицу:

i	pi	npi=100pi	ni	ni - npi	(ni - npi)^2
1 2 3 4 5 6 7	0,0409 0,1037 0,2111 0,2698 0,2158 0,1132 0,0455	4,09 10,37 21,11 26,98 21,58 11,32 4,55	6 8 15 40 16 8 7	1,91 -2,37 -6,11 13,02 -5,58 -3,32 2,45	3,648 5,617 37,332 169,52 31,136 11,02 6,002	0,89 0,54 1,77 6,28 1,44 0,97 1,32

Нормальное распределение имеет параметра, т.е. , поэтому число степеней свободы . Найдем по таблице №9 (см. Приложение) критических значений распределения значение . Так как , то надежностью 95% отвергается гипотеза Н_О.

Вывод: Гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не согласуется с данными выборки.