Пусть требуется изучить множество объектов относительно некоторого качественного или количественного признака.

выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупность из которой производиться выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для проверки 100 деталей, то объем генеральной совокупности n=1000, а объем выборки n=100, а признак - это качество.

каждый элемент выборки называют вариантой. Выборка, расположенная в порядке возрастания, называется вариационным рядом.

пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось n₁ раз, х₂ - n₂ раз, х_k - n_k раз и - объем выборки. Числа n_i называют частотами, а их отношение к объему выборки - относительными частотами. Для относительных частот:

статистическим распределением выборки или статистическим рядом называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот:

или .

Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат соответствующие им относительные частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Полигон частот

n_i

X₁

X₂

X₃

...

X_n-1

X_n

Полигоном пользуются обычно в случае небольшого количества вариант. В случае большого количества вариант и в случае непрерывного распределения признака чаще строят гистограммы.

Гистограммой частот (или гистограммой относительных частот) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h , а высоты равны отношению n_i /h (или отношению w_i /h). Для построения гистограммы интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака разбивают на несколько частичных интервалов длиною h и находят для каждого интервала n_i - сумму частот вариант, попавших в i интервал. Затем на этих интервалах, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами (для построения гистограммы относительных частот - ). Площадь i частного прямоугольника равна (или ) Следовательно, площадь гистограммы частот (относительных частот) равна сумме всех частот (или относительных частот) , т.е. объему выборки (или единице).

Решение типовых примеров:

Пример 1. Задано распределение частот выборки объема n=20:

.

Найти распределение относительных частот.

Решение: Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

Напишем распределение относительных частот:

Проверим свои расчеты:

Пример 3. Построить полигон относительных частот для следующего распределения:

.

Решение: Отметим на координатной плоскости точки М_i с координатами и соединим их отрезками прямой. Полученная таким образом ломанная линия и есть полигон относительных частот.

w_i

1

0,8

0,6

0,4

0,2

x_i

2

3

5

7

Пример 4. Построение гистограммы частот для выборки объема n=100, приведенной в таблице.

Частичный интервал h	сумма частот вариант частичного интервала h
5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40	4 6 16 36 24 10 4	0,8 1,2 3,2 7,2 4,8 2,0 0,8