Решение типовых примеров:

Пример 1. Найти уравнение прямой регрессии Y на Х для дискретной двумерной случайной величины (X,Y) из примера 1, §2.7.

Двумерная дискретная случайная величина задана следующим законом распределения:

X Y	x1=2	x2=5	x3=10
y1=1	0,30	0,10	0,10
y2=4	0,15	0,25	0,10

Решение. Как уже известно законы распределения составляющих Х и Y:

X x₁=2 x₂=5 x₃=10 Y y₁=1 y₂=4

P 0,45 0,35 0,20 P 0,50 0,50

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение составляющих Х и Y равны

Найдем коэффициенты ковариации и корреляции

.

.

Коэффициент регрессии Y на Х равен:

и следовательно, уравнение прямой регрессии имеет следующий вид:

или .

Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно величины Х равна .

Ответ: ; .

Пример 4. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения : в квадрате ; вне этого квадрата f(x,y)=0. Найти уравнение прямой и обратной регрессии .

Решение: Найдем математическое ожидание составляющей Х:

.

и дисперсию:

.

Дважды интегрируя по частям, находим

Аналогично находятся ;

Найдем коэффициент ковариации:

.

Следовательно, коэффициент корреляции равен:

.

Найдем коэффициент прямой регрессии Y на Х:

и уравнение прямой регрессии :

или .

Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно случайной величины Х равна: .

Аналогично находим уравнение обратной регрессии Х на Y:

Найдем коэффициент регрессии Х на Y:

и уравнение обратной регрессии ;

.

Остаточная дисперсия случайной величины Х относительно случайной величины Y равна: .

Ответ: Уравнение прямой регрессии:

Уравнение обратной регрессии:

Задания для закрепления:

1. Найти уравнение прямой и обратной регрессии для дискретной двумерной случайной величины из задания 1 настоящего параграфа, т.е. закон распределения случайной величины (X,Y) :

X Y	-1	0	1
0	0,10	0,15	0,20
1	0,15	0,25	0,15

Ответ: уравнение прямой регрессии:,

остаточная дисперсия;

уравнение обратной дисперсии: ,

остаточная дисперсия.

4. Найти уравнение прямой и обратной регрессии для дискретной двумерной случайной величины из задания 2 настоящего параграфа, т.е. двумерная случайная величина (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью в области D и равна нулю вне той области. Область D - треугольник, ограниченный прямыми .

Ответ: уравнение прямой регрессии:,

уравнение обратной регрессии: ,

остаточные дисперсии: .

Asosiy adabiyotlar

1. Ш.Қ. Форманов “Эҳтимолликлар назарияси”, Тошкент “Университет” 2014 й.

2. И.А.Палий. Прикладная статистика. Учебное пособие. М.: Издательско-торговая корпорация. «Дашков и К», 2010. – 224с.

3. Гмурман В.Е. «Эҳтимоллар назарияси ва математик статистикадан масалалар ечишга доир қўлланма», Тошкент, «Ўқитувчи», 1980 й.