Решение типовых примеров:

Пример 1. Пусть дискретная величина  имеет ряд распределения:

i	/4	/2	3/4	
p i	0,2	0,4	0,3	0,1

Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. Случайная величина принимает значения , где с вероятностями p _i . Следовательно ее закон распределения

i		1		0
p i	0,2	0,4	0,3	0,1

Так как функция на отрезке не монотонна и ее значения в точках равны, то, в этом случае столбцы с равными значениями объединим в один столбец, а соответствующие вероятности сложим. Тем самым закон распределения имеет следующий вид:

i	0	1
p i	0,1	0,4	0,5

Пример 2. Задана - плотность распределения случайной величины , возможные значения которой заключены в интервале (а;b). Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Так как функция дифференцируема и строго возрастает, то применима формула:

.

Найдем функцию , обратную к : .

Найдем : .

Найдем производную функции : .

Подставляя полученные результаты в формулу: , найдем искомую плотность распределения: .

Пример 3. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .

Решение: Найдем дифференциальную функцию f_X(x) случайной величины Х: в интервале мы имеем:

;

и вне этого интервала f(x)=0.

В нашем примере . Найдем из уравнения обратную функцию . Так как в интервале функция не монотонна, то разобьем этот интервал на интервалы и , в которых эта функция монотонна. В интервале обратная функция ; в интервале обратная функция . Искомая плотность распределения может быть найдена по равенству:

.

Найдем производные обратных функций :

Найдем модули производных:

Учитывая, что , получим , . Откуда искомая плотность равна:

Так как , причем , то -1 < y < 1. Таким образом, в интервале (-1;1) искомая плотность вероятностей равна , вне этого интервала .

Задания для закрепления:

1. Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения . Построить ряд распределения случайной величины .

	1	3	5
р	0,4	0,1	0,5

Ответ:

	1	9	15
р	0,4	0,1	0,5

2. Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения . Построить ряд распределения случайной величины .

	/4	/2	3/4
р	0,2	0,7	0,1

Ответ: 1

р 0,3 0,7

3. Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения. Построить ряды распределения случайных величин и .

	-2	-1	0	1	2
р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Ответ:

1 2 5 0 1 2

р 0,3 0,5 0,2 р 0,3 0,5 0,2

4. Непрерывная случайная величина имеет плотность . Найти плотность вероятности случайной величены .

Ответ:

4. Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности . Найти плотность вероятности обратной к ней величины .

Ответ: ;

При y=0 плотность имеет разрыв 2-го рода.

4. Случайная величина имеет показательное распределение с плотностью вероятности . Найти функцию распределения и плотность вероятности случайной величины .

Ответ:

4. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти плотность вероятности случайной величины .

Ответ: , при -1 < y < 1.

Вне интервала (-1;1) равна нулю.

4. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Найти плотность вероятности случайной величины .

Ответ:

4. Задана плотность вероятности f(x) случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность вероятности случайной величины Y, если

Ответ: .

4. Задана плотность вероятности f(x) случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале . Найти плотность вероятности случайной величины Y, если

Ответ:

8-Занятие. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности :

.

Если случайная величина принимает четное множество возможных значений, то .

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: MC=C.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=С МХ.

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х+Y)=MX+MY .

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХY)=МХ МY.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг среднего значения служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения: .

Для дискретной случайной величины дисперсия определяется как:

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: DC=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(СХ)=С ² DХ.

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсией ожиданий слагаемых: D(Х+Y)=DX+DY

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: .