Задания для закрепления:

1. Телефонная компания желает оценить среднее время междугородних переговоров в течение выходных, когда действует льготный тариф. Случайная выборка из 50 звонков дала среднюю =14,5 мин со средним квадратическим отклонением s = 5,6 мин. Постройте 95%-ый доверительный интервал для средней продолжительности переговоров в выходные дни.

2. Страховая компания оценивает среднюю сумму исков, предъявленных больными за врачебные ошибки. Компания осуществила случайную выборку 165 исков и нашла = 16,530 и s = 5,542. Постройте 95%- и 99%-ый доверительные интервалы для средней суммы исков.

Ответ: (15,68437; 17,37563), (15,4186;17,6414).

3. Производитель пальчиковых батареек желает оценить среднюю продолжительность их работы. Случайная выборка 12 батареек дала = 34,2 часа и s = 5,9 часа. Найдите 95%-ый доверительный интервал средней продолжительности работы батареек.

4. Бюро найма желает оценить средние ставки рабочих вакансий в определенной отрасли промышленности. Случайная выборка 60 вакансий дала = 42,539 рублей и s = 11,690 рублей. Постройте 95%-ый доверительный интервал для средних ставок по вакансиям в данной отрасли промышленности.

5. Крупный банк заинтересован в автоматизации кассовых операций в филиале, открывающемся в новом регионе. Для принятия обоснованного решения проводится эксперимент по определению среднего числа трансакций в условных де­нежных единицах на человека в день. Случайная выборка 10 экспериментальных трансакций, которые прошли через новые кассовые автоматы, дала следующие результаты: 53, 40, 39, 10, 12, 60, 72, 65, 50, 45. Постройте 95%-ый доверительный интервал для средней суммы трансакций.

Ответ: (29,87; 59,33).

6. Автотранспортная компания желает оценить среднее время транзита грузов из столицы в северные регионы страны. Случайная выборка 20 партий товаров дала: = 2.6 дней, s = 0,4 дня. Постройте 99%-ый доверительный ин­тервал для среднего времени транзита товаров.

Ответ: (2,34; 2,86).

7. Оптовая фирма, торгующая моющими средствами, желает оценить объем ежедневной продажи упаковок мыла определенного сорта. Случайная выборка за 13 дней дала следующие результаты: 123, 110, 95, 120, 87, 89, 100, 105, 98, 88, 75, 125, 101. Постройте 90%-ый доверительный интервал числа ежедневной реализации упаковок мыла.

Ответ: (93, 75; 108, 71).

8. Бухгалтер желает оценить среднюю сумму счетов сервисной компании. Случайная выборка 46 счетов дала: = 16,50 условных денежных единиц, s = 52,00. Постройте 99%-ый доверительный интервал для средней суммы счетов.

Ответ: (15,86; 17,14).

9. Частная картинная галерея, участвующая в художественных аукционах, желает оценить среднюю стоимость картин определенного периода и стиля. Экспертами-искусствоведами была проведена оценка 20 картин, отобранных случайным образом. Выборка дала следующие результаты: средняя оценочная стоимость одной картины = 5139 условных денежных единиц, s = 640. Постройте 95%-ый доверительный интервал средней стоимости одной картины.

10. Консультационной фирме необходимо оценить средний стаж работы менеджеров в определенной отрасли. С этой целью была осуществлена случайная выборка 28 менеджеров, которая дала следующие результаты: =6,7 лет, s = 2,4 года. Постройте 99%-ый доверительный интервал для среднего стажа работы менеджеров определенной отрасли.

Ответ: (5,44; 7,96).

11. Менеджеру универсама необходима информация о среднедневной потребности в кефире. Случайная выборка дала следующие результаты продаж (число проданных литровых тетрапаков в день): 48, 59, 45, 62, 50, 68, 57, 80, 65, 58, 79, 69. Предположив, что это случайная выборка дневной потребности, постройте 95%-ый доверительный интервал для среднего числа пакетов с кефиром, которое надо завозить ежедневно в универсам.

12. Проводится выборка семей, имеющих низкий доход, для определения стоимости расходов на питание. Известно, что среднее квадратическое отклонение расходов на питание составляет 25,75 рублей. Экономисты, занимающиеся оценкой стоимости питания, желают построить 95%-ый доверительный интервал, в котором находятся границы расходов на питание, и хотели бы, чтобы предельная ошибка оценки не превосходила 3,95 рубля. Найдите подходящий объем выборки для решения этой задачи.

Ответ: N= 164.

13. Аудитор случайно отбирает 50 оплаченных счетов и находит, что их выборочная средняя составила 100 денежных единиц со средним квадратическим отклонением 287 денежных единиц. Постройте 90%-ый доверительный интервал для среднего значения суммы оплаченных счетов. Ответ: (1033,4; 1166,6).

14. Владелец хлебного магазина заметил, что у него ежедневно остается некоторое количество непроданных батонов, и он решил оценить реальную потребность в этом сорте хлеба. В течение месяца он записывал данные о числе проданных батонов и через 30 дней установил, что в среднем за день продается 120 батонов со средним квадратическим отклонением в 10 батонов. Предположим, что ежедневные продажи батонов подчиняются нормальному распределению. Постройте 90%-ый доверительный интервал для требуемого количества батонов.

Ответ: (117; 123).

15. Туристическая фирма, осваивающая новый вид экскурсионного обслуживания, провела опрос 120 случайно отобранных потенциальных клиентов для выяснения того, интересен ли им новый вид услуг или нет. Результаты показали, что 28% опрошенных предпочли бы новый вид экскурсионного обслуживания старому. Постройте 95%-ый доверительный интервал для доли клиентов туристической компании, которые станут потребителями нового вида услуг.

Ответ: (0,158; 0,309).

16. Создатели нового косметического крема от морщин хотели бы определить процент людей определенной возрастной группы, которым поможет этот крем. Для проверки крем был роздан 68 случайно выбранным людям определенной возрастной группы. Результаты проверки показали положительную реакцию на крем у 42 из них. Постройте 99%-ый доверительный интервал процента людей, которые могут быть удовлетворены действием нового крема от морщин.

17. Авиакомпания, открывшая новый авиамаршрут, желает оценить долю пассажиров, путешествующих по служебным делам по этому маршруту. Случайная выборка 347 пассажиров этого направления определила, что 121 из них - бизнесмены. Постройте 99%-ый доверительный интервал доли пассажиров, путешествующих по делам службы.

Ответ: (0,536; 0,623).

18. Филиал Сбербанка имеет 1253 лицевых счета. Проведенная случайная выборка 200 из них дала среднее значение 648,32 условных денежных единицы- Выборочное среднее квадратическое отклонение равно 210,00 условных денежных единиц. Постройте 99%-ый доверительный интервал средней суммы денег на счетах данного филиала.

19. Социологическая организация проводит опрос работников предприятия с целью выяснения отношения к структурной реорганизации, проведенной руководством предприятия. На предприятии 1242 работника. Для интервью случайным образом было отобрано 160 человек, среди которых 85 отметили, что в общем удовлетворены проведенными преобразова­ниями. Построите 95%-ый доверительный интервал доли работников, которые положительно оценивают реорганизацию предприятия.

Ответ: (0,459; 0,603).

20. Отдел реализации местной кондитерской фабрики желает определить долю коробок конфет определенного сорта, продаваемую в специальных отделах продовольственных магазинов города. В городе 538 таких отделов. Для оценки случайным образом набраны 100 из них. Проверка показала, что в среднем за месяц продается 1220 коробок этих конфет со средним квадратическим отклонением числа продаж - 550 коробок. Постройте 90%-ый доверительный интервал числа продаваемых коробок конфет.

21. В универсаме еженедельно продается в среднем 1520 картонных упаковок куриных яиц. Для оценки возможной компенсации за поврежденные яйца в поступающих партиях яиц проводится регулярная еженедельная случайная выборка 100 картонок. Если в поступившей партии найдено 12 картонок с поврежденными яйцами, то оцените с вероятностью 0,95 долю картонок с повреждениями в партии, содержащей 1520 упаковок.

Ответ (0,058:0,182)

22. Брокер проводит случайную выборку четырех акций из большой генеральной совокупности акций с низким номиналом. Цены акций в генеральной совокупности подчиняются нормальному распределению. Цены акций в выборке составили: $5, $12, $17 и $10.

• Вычислите точечную оценку генеральной средней.

• Вычислите точечную оценку генеральной дисперсии. Какова ваша оценка генерального среднего квадратического отклонения.

• Вычислите точечную оценку доли акций в этой генеральной совокупности, цена которых $10 и выше.

23. По результатам городского социологического опроса, выборка для которого была составлена по избирательным спискам, выяснено, что скорее всего 48% избирателей собираются го­лосовать против нынешнего мэра города. Предположим, что объем выборки составлял 789 вероятных избирателей. Постройте 99%-ый доверительный интервал для возможных избирателей, которые скорее всего проголосуют против нынешнего мэра.

24. Проводится выборка семей, имеющих низкий доход, для определения стоимости расходов на питание. Известно, что среднее квадратическое отклонение расходов на питание составляет 25,75 рублей. Экономисты, занимающиеся оценкой стоимости питания, желают построить 95%-ый доверительный интервал, в котором находятся границы расходов на питание, и хотели бы, чтобы предельная ошибка оценки не превосходила 3,95 рубля. Найдите подходящий объем выборки для решения этой задачи.

Ответ: N= 164.

25. Опрос 300 случайно отобранных жителей города показал, что 55% из них довольны деятельностью вновь избранного мэра. Постройте 95%-ый доверительный интервал доли жителей города, которые также доверяют мэру.

Ответ: (0,494; 0,606).

26. Случайная выборка 225 людей, обратившихся в брачное агентство, показала, что 100 из них нашли себе пару с их помощью. Постройте 95%-ый доверительный интервал доли людей, нашедших себе супруга через брачное агентство.

Ответ: (0,38; 0,50).

27. Политолог хотел бы оценить долю избирателей, которая проголосует за кандидатов левых сил на ближайших президентских выборах. Он хотел бы оценить эту долю с 90% уровнем доверия и с точностью от генеральной доли. Какой объем выборки необходим ему для опроса избирателей?

Ответ: (0,2284;0,3716); n = 214.

16-Занятие. Проверка гипотезы параметров нормального распределения