Решение типовых примеров:

Пример 1. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения:

Доказать, что Х и Y - зависимые некоррелированные случайные величины. Решение: Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y (пример 7,(2.7):

Так как , то X и Y зависимые величины. Для того, чтобы доказать некоррелированность Х и Y , достаточно убедиться в том, что . Найдем коэффициент ковариации по формуле:

Поскольку функция симметрична относительно оси ОY, то MX=0; аналогично, MY=0.

Следовательно, .

Вынося постоянный множитель f(x,y) за знак интеграла, получим:

.

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно,

, т.е. случайные величины Х и Y некоррелированы.

Пример 2. Найти коэффициенты ковариации и корреляции для двумерной случайной величины (X,Y) из примера 8, §2.7.

Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения f(x,y):

Решение: Плотности распределения составляющих были найдены:

; .

Числовые характеристики оказались равны:

; ; .

Найдем коэффициенты ковариации и корреляции:

Интегрируя по частям и учитывая, что (интеграл Пуассона), находим:

Следовательно, .

Ответ: , .

Пример 3. Найти уравнение прямой регрессии Y на Х для дискретной двумерной случайной величины (X,Y) из примера 1, §2.7.

Двумерная дискретная случайная величина задана следующим законом распределения:

X Y	x1=2	x2=5	x3=10
y1=1	0,30	0,10	0,10
y2=4	0,15	0,25	0,10

Решение. Как уже известно законы распределения составляющих Х и Y:

X x₁=2 x₂=5 x₃=10 Y y₁=1 y₂=4

P 0,45 0,35 0,20 P 0,50 0,50

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение составляющих Х и Y равны

Найдем коэффициенты ковариации и корреляции

.

.

Коэффициент регрессии Y на Х равен:

и следовательно, уравнение прямой регрессии имеет следующий вид:

или .

Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно величины Х равна .

Ответ: ; .

Пример 4. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного распределения : в квадрате ; вне этого квадрата f(x,y)=0. Найти уравнение прямой и обратной регрессии .

Решение: Найдем математическое ожидание составляющей Х:

.

и дисперсию:

.

Дважды интегрируя по частям, находим

Аналогично находятся ;

Найдем коэффициент ковариации:

.

Следовательно, коэффициент корреляции равен:

.

Найдем коэффициент прямой регрессии Y на Х:

и уравнение прямой регрессии :

или .

Остаточная дисперсия случайной величины Y относительно случайной величины Х равна: .

Аналогично находим уравнение обратной регрессии Х на Y:

Найдем коэффициент регрессии Х на Y:

и уравнение обратной регрессии ;

.

Остаточная дисперсия случайной величины Х относительно случайной величины Y равна: .

Ответ: Уравнение прямой регрессии:

Уравнение обратной регрессии: