Решение

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии:

где u₁ и u₂ скорости шаров после упругого удара.

Направления векторов скоростей шаров послу удара выберем произвольно и проведем ось x параллельно векторам скорости. В проекциях на ось x закон сохранения импульса примет вид:

или

(1)

Закон сохранения механической энергии можно представить в виде ,

или

Из этого уравнения с учётом (1) получим:

откуда

(2)

Подставляя полученное выражение (2) в (1), получим:

Далее найдём

(3)

Подставим полученное выражение (3) в (2):

после преобразования найдём

.

Выполним вычисления:

Пример 3. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась стрельба в горизонтальном направ- лении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью υ₁ = 600 м/с, а когда орудию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью υ₂ = 580 м/с. С какой скоростью откатилось при этом орудие?

Решение

Система “орудие - снаряд” является замкнутой, поэтому можно применить закон сохранения импульса. Так как в начальный момент система покоилась, то импульс системы в процессе взаимодействия должен быть равен нулю.

Пусть υ₁ – скорость снаряда без отката орудия, υ₂ – скорость снаряда с откатом орудия, u – скорость отката орудия, m₁ – масса снаряда, m₂ – масса орудия, тогда закон сохранения импульса имеет вид:

m₁υ₂ – m₂u = 0,

откуда

(1)

Работа пороховых газов идёт на увеличение кинетиче- ской энергии системы:

Отсюда следует, что

С учётом уравнения (1) получим:

, или

.

Следовательно

Подставляя в уравнение (1), найдём

Пример 4. Тонкий стержень массой m и длинной L подвешен за один конец и может вращаться без трения. К той же оси подвешен на нити длиной l шарик такой же массы. Шарик отклоняется на некоторый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень остановится? Удар абсолютно упругий.

Решение

В соответствии с законом сохранения момента импульса для системы шарик-стержень будет иметь

, (1)

где I-момент инерции стержня относительно оси вращения. По теореме Штейнера

.

С учетом этого уравнение (1) приводится к виду

.

При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохране- ния механической энергии, в соответствии с которым

, (2)

или после преобразования

. (3)

Решая систему уравнений (1) и (3), найдем

.

Пример 5. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвиж- на, колесо вращается с частотой ν^’= 10с^-1. Радиус колеса равен 20 см, его масса m = 3кг. Определить частоту вращения ν₁ скамьи, если человек повернёт стержень на угол 180⁰. Суммарный момент инерции человека и скамьи I = 6 кг·м².