4.5. Эквипотенциальные поверхности. Связь между напряженностью и потенциалом

Для графического изображения электростатических полей наряду с силовыми линиями используют экви- потенциальные поверхности. Эквипотенциальная поверх- ность – это поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Линии напряженности всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности условились проводить с такой густотой, чтобы потенциалы двух смежных эквипотенциальных поверхностей отличались на единицу потенциала, тогда по густоте эквипотенциальных поверхно- стей можно судить о величине напряжённости электро- статического поля. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше. Зная расположение линий напряженности можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля величину и направление напряженности поля.

Величина, характеризующая быстроту изменения потенциала в пространстве, носит название градиента потенциала ( ). Градиент потенциала есть вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности от меньшего значения потенциала к большему. Тогда

. (4.26)

Знак минус в формуле (4.26) показывает, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону убывания потенциала.

По формуле (4.26), зная потенциал поля, можно найти вектор напряженности поля . В тоже время можно решить и обратную задачу, т.е. по заданным значениям в каждой точке найти разность потенциалов между произвольными точками поля. Для этого учтём, что работа, совершаемая силами поля над зарядом при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть вычислена по одной из формул:

, .

Приравнивая эти выражения и сокращая на , получим

. (4.27)

Интеграл в правой части можно брать по любому пути, соединяющему точки 1 и 2, так как работа сил поля не зависит от формы пути.

Используя формулу (4.27) для вычисления разности потенциалов между двумя точками, взятыми в однородном поле напряженности E, получим

, (4.28)

где под d следует понимать проекцию расстояния на направление вектора (рис. 4.7).

4.6. Проводники в электрическом поле

Проводники – это материалы, в которых присут- ствуют свободные электрические заряды, способные переме- щаться под действием сил поля. Поэтому равновесие зарядов в проводнике может наблюдаться лишь при выполнении следующих условий:

1. Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю (Е=0).

2. На поверхности проводника напряженность поля в каждой точке должна быть направлена по нормали к поверхности ( ).

Из этих условий следует, что проводник представляет собой эквипотенциальную область, т. е. в объёме и на поверхности проводника  = const. Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q,то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Выполнение этих условий приводит к тому, что все заряды распределяются по поверхности проводника с некоторой плотностью . Напряженность поля вблизи поверхности заряженного метал- лического проводника пропорциональна поверхностной плотности заряда:

, (4.29)

где  – относительная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Плотность зарядов на поверхности проводника зависит от величины и направления кривизны поверхности – она растёт с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с ростом отрицательной кривизны (вогнутости) рис.4.8.

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение и у концов проводника возникают индуцированные заряды противопо- ложного знака. Поле индуцированных зарядов направлено противоположно внешнему. Перераспределение зарядов происходит до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а линии напряженности вне проводника перпендикулярными к его поверхности (рис. 4.9).

Рис.4.7 Рис. 4.8 Рис. 4.9

Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий напряжен -ности: они заканчиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положительных. На этом основывается электростатическая защита.