Решение

1) Для нахождения уравнения траектории движения частицы необходимо исключить параметр из кинематиче- ских уравнений:

.

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы.

2) Вектор скорости частицы в момент времени определяется выражением:

,

где - единичные векторы вдоль осей Х и У, а и - проекции вектора скорости на соответствующие оси.

Дифференцируя уравнения по времени, получим:

;

и, следовательно, .

Модуль вектора скорости равен

.

Вектор ускорения представляет собой первую производ- ную от вектора скорости

где

Следовательно, .

Знак «-» в полученном выражении свидетельствует о том, что ускорение направлено в сторону, противоположную оси У.

Модуль ускорения равен

.

3. Вектор средней скорости определяется выражением

где поскольку ,

.

Окончательно,

.

Пример 2. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении со скоростью υ = 30 м/c. Определить скорость, тангенциальное и нормальное ускорение камня в конце третьей секунды после начала движения.

Решение

Движение горизонтально брошенного тела под действием силы тяжести состоит из равномерного движения в горизон- тальном направлении со скоростью υ_x и свободного падения в вертикальном направлении со скоростью . Мгновенная скорость движения тела определяется сложением векторов и . Модуль скорости определим в соответ- ствии с теоремой Пифагора

. (1)

Вектор полного ускорения тела (ускорение свобод- ного падения) равен векторной сумме тангенциального и нормального ускорений.

.

Как следует из рисунка, модуль нормального ускорения a_n тела равен: , где φ угол между векторами и , следовательно .

Тогда с учётом (1) получим

. (2)

Модуль тангенциального ускорения определим в соответствии с теоремой Пифагора:

. (3)

Выполняя вычисления, получим

Пример 3. Маховик, вращающийся с постоянной частотой , при торможении начал вращаться равно- замедленно. Когда торможение прекратилось, частота враще- ния оказалась равной . Определить угловое ускоре- ние  маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал .

Решение

При равнозамедленном вращательном движении уравнения угловой скорости и углового пути имеют вид:

, (1)

. (2)

Решение этой системы уравнений дает соотношение, связывающее угловое ускорение с начальной и конечной угловыми скоростями

,

или . (3)

Но так как и , то

. (4)

Подставив числовые значения в выражение (4), найдём

.

Угловое ускорение получилось отрицательным, так как маховик вращался замедленно. Продолжительность торможения определяем из уравнения (1):

.

С учетом (4) окончательно получим

.

Подставив числовые значения, найдем: