Вывод формулы:

При выводе формул используются допущения:

1. длина вала после загружения остаётся неизменной

2. поперечные сечения после деформации остаются плоскими

3. учитываются повороты сечений вокруг оси, оставаясь перпендикулярными к ней.

Поскольку крутящий момент 𝑀_𝑥 – единственный внутренний силовой фактор в поперечном сечении, действующий при этом в плоскости данного сечения, можно предположить, что при кручении в поперечных сечениях вала возникают только касательные напряжения.

В сечении вала выделим элементарную площадку 𝑑𝐴 на расстоянии ρ от продольной оси (ось x) стержня. При кручении на площадке 𝑑𝐴, будут действовать касательные напряжения τ, которые создадут элементарный крутящий момент 𝑑𝑀_𝑥 относительно оси x:

𝑑𝑀_𝑥 = 𝜏 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝜌

1 1. Вывод формулы для определения деформации при кручении

Деформация – способность тел изменять свою форму и размеры под действием внешних сил

Допущения/гипотезы, принимаемые при расчете на кручение:

1. Длина вала, измеренная после загружения, остается неизменной

2. Поперечные сечения, бывшие до деформации плоскими, остались плоскими

3. Учитываются только повороты сечений вокруг оси

Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим деформацию элемента стержня (вала) длиной dx, выделенного из закручиваемого стержня в произвольной точке с координатой x.

Условно примем, что левое сечение элемента dx остается неподвижным, а правое поворачивается на угол dϕ, создаваемый за счет закручивания вала на длине dx. Один из радиусов OB, оставаясь прямым, поворачивается вместе с сечением на угол dϕ, при этом точка B переходит в положение B1, а образующая CB – в положение CB1, поворачиваясь на угол γ – угол сдвига в этой точке вала.

^{Длину дуги BB}1 ^{найдем из рассмотрения треугольников OBB}1 ^{и CBB}1^:

Физическая сторона задачи

Запишем закон Гука, связывающий касательные напряжения с углом сдвига: 𝜏 = 𝐺 ∙ 𝛾

12.Закон Гука при кручении.

Закон Гука при кручении записывается, как закон Гука при сдвиге:

,

Формула закона Гука при кручении с учетом зависимости между углом сдвига и относительным углом закручивания:

Формулировка закона Гука при кручении: касательные напряжения в произвольной точке поперечного сечения вала, отстоящей от центра тяжести на расстоянии  , пропорциональны относительному углу закручивания. В точках, равноудаленных от центра тяжести сечения, численные значения касательных напряжений одинаковы.

И з формулы закона Гука при кручении следует: касательные напряжения в поперечном сечении вала изменяются по линейному закону (пропорционально расстоянию от точки до центра тяжести). Касательные напряжения равны нулю в центре вала и достигают максимального значения ( ) в точках контура поперечного сечения (рис. 5.2).