1)

1

>

1

,

n +1

n +2

1

.

2)

lim

= 0.

n→∞

n +1

Таким образом, ряд (1.7) сходится в области 0 < x ≤ 4 . ▼

∞

n (x − 2)n

Пример 1.4. Найти интервал сходимости ряда ∑(−1)

.

n

n

n=1

▲ Т. к. an = (−n1n)n , то для нахождения радиуса сходимости примем формулу (1.5):

R = lim

1

= lim

1

= lim n = +∞ .

an

n→∞ n

n→∞

n

(−1)n

n→∞

nn

Это означает, что данный ряд сходится при всех значениях x, т. е. областью сходимости является интервал (−∞; + ∞) . ▲

∞

Пример 1.5. Найти интервал сходимости ряда ∑n!xn .

an

n!

n=0

1

▲ Т. к. an = n!, an+1

= (n +1)!= n!(n +1),

=

=

, то получим

n!(n +1)

n +1

an+1

R = lim

an

= lim

1

=

0 .

an+1

n→∞

n→∞ n +1

Равенство R = 0 означает, что данный ряд сходится в точке x = 0 , т. е. область сходимости данного степенного ряда состоит из одной точки x = 0 . ▼

2.Свойства степенных рядов

2.1.Равномерная сходимость степенного ряда

и непрерывность его суммы

∞

Теорема 1.1. Степенной ряд ∑an xn сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке

n=0

[−c; c], c > 0 , содержащемся в интервале сходимости ряда (−R; R), R > 0 .

▲ Пусть 0 < c < R . Тогда для всех x,

удовлетворяющих условию

x

≤ c ,

и для любого

∞

n = 0, 1, 2, , будем иметь

an xn

≤

ancn

. Но так как числовой ряд ∑

ancn

сходится, то по

n=0

признаку Вейерштрасса данный степенной ряд сходится на отрезке [−c; c] абсолютно и равномерно. ▼

	∞
Теорема 1.2. Сумма степенного ряда	S(x) = ∑an xn	непрерывна в каждой точке x его интер-
вала сходимости (−R; R), R > 0 .	n=0
▲ Любую точку x из интервала сходимости (−R; R)		можно заключить в некоторый отрезок

[−c; c], 0 < x < c < R , на котором данный ряд сходится равномерно. Так как члены ряда непрерывны, то его сумма S(x) будет непрерывной на отрезке [−c; c], а значит, и в точке x. ▼

32