или

x

x

1 t3

x

1 3 t5

x

1 3 5 t7

x

arcsin t

= t

+

+

+

+ .

0

0

2 3

2!22

5

3!23

7

0

0

0

Тем самым, окончательно получаем, что

arcsin x = x + 213 x3 + 2!1223 5 x5 + 31!233 57 x7 + , где −1 < x <1 (R =1) . ▼

3.3. Приложения рядов

Ряды имеют самое широкое применение. В частности, они используются в приближенных вычислениях. С помощью рядов вычисляют приближенные значения функций, многие определенные интегралы, для чего предварительно подынтегральную функцию разлагают в степенной ряд и затем пользуются почленным интегрированием ряда. Ряды широко используются при интегрировании дифференциальных уравнений.

3.3.1. Вычисление значений функции

Пример 3.1. Вычислить e с точностью ∆ = 0.001.

▲ Воспользуемся разложением в степенной ряд функции ex (см. формулу (2.1)), в котором примем x = 12 . Тогда получим

=1+

1 +

1

+ +

1

+ .

e

2!22

n!2n

2

Остаток этого ряда

∞

1

1

∞

1

1

Rn = ∑

<

∑

=

, так как (n +1)!< (n + 2)!< .

n

k

n

k=1

(n + k)!2

(n +1)!2

k=1 2

(n +1)!2

При значении n = 4 R <

1

< 0.001. Следовательно,

5!24

n

1

≈1+

≈1.674 .

e

1

+

1

+

1

+

1

2

2

5

48

384

Для определения числа членов ряда, обеспечивающих заданную точность вычисления,

можно воспользоваться остаточным членом формулы Маклорена

R

(x) =

eθ x

xn+1 , где 0 <θ <1; x =

1

.

n

(n +1)!

2

Тогда при n = 4

R

(

1

)

< 2(

1

)n+1

< 0.001. ▼

2

n

2

(n +1)!

Пример 3.2. Вычислить sin

1

с точностью ∆ =10−3 .

2

▲ Подставим в формулу (2.2) значение x =

1

. Тогда

2

sin

1

= 1

−

1

+

1

− +(−1)n−1

1

+ .

2

3!23

5!25

(2n −1)!22n−1

2

Так как остаток знакочередующегося ряда

Rn

≤ an+1

(см. признак Лейбница), то доста-

точно найти первый член an+1 , для которого an+1 < ∆. Тогда Sn даст значение функции требу-

емой точности. Очевидно, что уже третий член ряда 5!125 <10−3 , поэтому с точностью ∆ =10−3

sin 12 ≈ 12 − 481 ≈ 0.479 . ▼

Пример 3.3. Вычислить 5 34 с точностью ∆ =10−3 .

42

▲	Очевидно,		что 5					= 5						= 2(1+		1	)15 . Воспользуемся биномиальным рядом (см.
					34				32 + 2
																16
формулу (2.8)) приα =						1	, x =			1		:
						5				16			−2)		1613 + =1+ 801			− 32001	+ =1+0.0125 −0.0003 + ≈1.012 .
(1	+ 161 )5 =1+	15	161 + 5 (	52!−1)1612 + 5							(5	−13!)(5
	1		1	1					1		1	1

Поскольку уже третий член можно отбросить в силу того, что он меньше ∆ =10−3 (см. признак Лейбница). Следовательно, 5 34 = 2(1+ 161 )15 ≈ 2.024 . ▼

3.3.2. Вычисление интегралов

Пример 3.4. Вычислить интеграл (интегральный синус) Si x = ∫x sin t dt .

0 t

▲ Известно, что первообразная

для функции

sin t

не выражается через элементарные

t

функции. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, пользуясь тем, что

sin t = t

−

t3

+

t5

−

t7

+ .

(2.16)

3!

5!

7!

Из равенства (2.16) находим

sin

=

1−

t2

+

t4

−

t6

+ .

(2.17)

t

3!

5!

7!

Заметим, что деление ряда (2.16)

на t при t ≠ 0 законно. Равенство (2.17) сохраняется и

при t = 0 , если считать, что при t = 0

отношение

sin t

=1. Тем самым, ряд (2.17) сходится

t

при всех значениях t (R = +∞) . Интегрируя его почленно, получим

Si x = ∫x sin t

dt = x −

x3

+

x5

−

x7

+ .

3!3

5!5

7!7

0

t

Полученный ряд – знакочередующийся, так что погрешность при замене его суммы частичной суммой оценивается просто. ▼

Пример 3.5. Вычислить интеграл ∫x e−t2 dt .

0

▲ Здесь первообразная для подынтегральной функции e−t2 также не является элементарной функцией. Для вычисления интеграла заменим в формуле

ex =1+ x + x2 + x3 +

2! 3!

x на −t2 . Получим

e−t2 =1

−t2 + t4

− t6

+ .

2!

3!

Проинтегрируем обе части этого равенства в пределах от 0 до x :

∫x e−t2 dt = t

x − t3

x

+

t5

x

−

t7

x

+

= x −

x3

+

x5

−

x7

+ .

0

0

3

0

2!5

0

3!7

0

3

2!5

3!7

Этот ряд сходится при любых x (его радиус сходимости R = +∞) и является и является знакочередующимся при x > 0 . ▼

43

3.3.3.Приближенное решение дифференциальных уравнений

Вслучае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например, ряда Тейлора или Маклорена.

При решении задачи Коши

y′ = f (x; y), y(x0 ) = y0 ,						(2.18)
используется ряд Тейлора		(n)	(x0 )
∞
y(x) = ∑	y			(x − x0 )n	,	(2.19)
n=0		n!
где y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = f (x0 ; y0 ) , а остальные производные						y(n) (x0 ) (n = 2, 3, ) находятся

путем последовательного дифференцирования уравнения (2.18) и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

Пример 3.6. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения диффе-

ренциального уравнения y′ = x2 + y2 , если y(1) =1.

▲ Из данного уравнения находим, что

′

2 . Дифференцируем исходное уравне-

y (1) =1+1 =

ние:

′′

′

′′

y

= 2x + 2yy

,

y

(1) = 6 ;

y

′′′

′

2

′′

′′′

22 ;

= 2 + 2(y )

+ 2yy , y

(1) =

y

IV

′

′′

′

′′

+ 2yy

′′′

y

IV

(1) =116

и т. д.

= 4y y

+ 2y y

,

Подставляя найденные значения производных в ряд (2.19), получаем y(x) =1+ 2(x −1) + 62 (x −1)2 + 226 (x −1)3 + 11624 (x −1)4 + =

=1+ 2(x −1) +3(x −1)2 + 113 (x −1)3 + 296 (x −1)4 + . ▼

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. Учебник для университетов и пед. вузов. − М.: Высш. шк. 2000. − 695 c.

2.Веретенников В. Н. Высшая математика. Математический анализ функций одной переменной. – Спб.: Изд. РГГМУ. 2008. – 254 c.

3.Козлов В. Н., Максимов Ю. Д., Хватов Ю. А. Структурированная программа (базис). Ти-

повые задачи для контроля, требования к знаниям и умениям студентов (для студентов технических направлений бакалавриата): Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001, 56 c. 4. Краснов М. Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 3. − М.: Эдиториал УРСС, 2001.

− 240 c.

СОДЕРЖАНИЕ

	Стр.
Предисловие ……………………………………………………………………………………	3
Теория рядов …………………………………………………………………………………	4
Числовые ряды………………………………………………………………………………	4
1. Основные понятия и свойства (4). 2. Положительные ряды (10). 3. Знакопере-
менные ряды (20). 4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (21).
Функциональные ряды ………………………………………………………………………	23
Степенные ряды ………………………………………………………………………………	25
1. Теорема Абеля (25). 2. Свойства степенных рядов (32). 3.Ряд Тейлора (34).
Использованная литература …………………………………………………………………	44
Содержание ……………………………………………………………………………………	44

44