Sn = a1 +a2 + +an ,				~
						Sn = λa1 +λa2 + +λan .
	Очевидно, что	~						∞	сходится, т. е. существует пре-
		Sn = λSn . Так как по условию ряд ∑an
							n=1		~
										, причем
	дел lim Sn , то в силу последнего равенства существует предел lim Sn
	n→∞								n→∞
		~	= lim λSn = λ lim				∞		∞	.▼
		lim Sn				Sn , или ∑λan = λ∑an
		n→∞	n→∞		n→∞		n=1		n=1
		∞		∞
	Теорема 2.3. Пусть ряды ∑an и ∑bn				сходятся. Тогда их сумма и разность, т. е. ряды
		n=1		n=1
				∞		∞
				∑(an +bn ) и ∑(an −bn ) ,
				n=1		n=1
		∞			∞	∞
	будут сходиться, причем ∑(an			±bn ) = ∑an		±∑bn .
		n=1		~	n=1	n=1	ˆ
	▲ Пусть Sn = a1 +a2 + +an ,				+b2 + +bn ,			= (a1 +b1 ) +(a2 +b2 ) + +(an +bn )			–
				Sn = b1			Sn
						∞	∞	∞
	n-е частичные суммы соответственно рядов ∑an ,						∑bn , ∑(an +bn ) .
		ˆ	~			n=1	n=1	n=1
	Очевидно, что
		Sn = Sn	+ Sn .
	Так как по условию ряды			∞	∞			т. е.	существуют пределы lim Sn		и
				∑an	и ∑bn сходятся,
				n=1	n=1					n→∞

	~
lim Sn , то из последнего равенства, справедливого для всех n, следует существование преде-
n→∞				~		~
ла	ˆ	ˆ	= lim(Sn
	lim Sn , причем lim Sn			+ Sn ) = lim Sn +lim Sn , что равносильно равенству
	n→∞	n→∞	n→∞	n→∞		n→∞
				∞	∞	∞
			∑(an +bn ) =		∑an +∑bn .
			n=1		n=1	n=1
						∞
	Аналогично доказывается сходимость ряда ∑(an −bn ) . ▼
						n=1
	Замечание.	Нетрудно видеть,				∞		∞
				что из сходимости ряда ∑(an +bn )				или ∑(an −bn )
						n=1		n=1
		∞	∞
	сходимость рядов ∑an и ∑bn			не вытекает.
		n=1	n=1

Действительно, в результате почленного сложения расходящихся рядов

1+1+1+ +1+ и −1−1−1− −1−

мы получим сходящийся ряд 0 + 0 + 0 + + 0 + .

Это обстоятельство необходимо иметь в виду при операциях с рядами.

Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.

1.3. Критерий Коши сходимости ряда

При рассмотрении рядов возникают две задачи:

1)исследовать ряд на сходимость и

2)зная, что ряд сходится, найти его сумму.

Будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический характер.

8

Из критерия Коши для сходимости последовательности вытекает самый общий критерий сходимости числового ряда.

			∞
Теорема 3.1 (критерий Коши). Для того чтобы числовой ряд ∑an				сходился, необходимо и
			n=1
достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 существовал номер N = N(ε) такой, что при
любом n > N неравенство
	an +an+1 + +an+p		< ε	(3.1)
выполнялось для всех p = 0,1, 2, .

						∞
Используя частичные суммы Sn+p и						Sn−1 рассматриваемого ряда ∑an , неравенство
						n=1
(3.1) можно записать в виде			Sn+p −Sn−1		< ε .

Из критерия Коши вытекает необходимый признак сходимости числового ряда.

∞

Теорема 3.2 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд ∑an сходится, то

					n=1
lim an = 0 .
n→∞
▲ Полагая p = 0 в теореме (3.1), получим неравенство			an		< ε , которое выполняется для
всех n > N(ε) . В силу произвольности числа ε > 0	это означает, что lim an = 0 . ▼
					n→∞

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если lim an отличен от нуля или
							n→∞
∞
не существует, то ряд ∑an	расходится.
n=1
							∞
Пример 3.1. Числовой ряд −1+0		+	1	+			+cos π5 + = ∑cos πn	расходится, так как
					2
			2		2
							n=1
	lim an = limcos πn = cos0 =1 ≠ 0 .
	n→∞	n→∞

∞

Пример 3.2. Ряд 1−1+1−1+ = ∑(−1)n+1 расходится, так как

n=1

lim an = lim(−1)n+1 не существует.

n→∞ n→∞

Замечание. Теорема 3.2 дает необходимое условие сходимости ряда, но оно не являет-

ся достаточным, т. е. условие lim an = 0 может выполняться и для расходящегося ряда

n→∞

∞

∞

∑an . Это можно видеть на примере ряда ∑

1

(см. пример 4 раздела 1.1).

n

n=1

n=1

∞

Пример 3.3. Рассмотрим числовой ряд 1+

1

+

1

+ +

1

+ = ∑

1

, который называется

2

3

n

n

n=1

гармоническим рядом. Каждый его член, начиная со второго, есть среднее гармоническое двух соседних членов.

(Число c называется средним гармоническим чисел a и b, если				1	(	1	+	1	)=	1	).
				2		a		b		c
▲ Для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как
lim an	= lim	1	= 0.
		n
n→∞	n→∞
Воспользовавшись критерием Коши,	покажем, что этот ряд расходится.										Положим
p = n . Тогда

9