0 ≤

R (x)

=

f (n+1) (θ x)

xn+1

=

f (n+1) (θ x)

x

n+1

< MRn+1

(1.5)

n

(n +1)!

(n +1)!

(n +1)!

для n = 0,1, идлявсех x (−R; R) .

Числовой ряд

∞

MRn+1

сходится в силу признака Даламбера

∑n=0

(n +1)!

MRn+2

lim

(n +2)!

= lim

R

= 0 <1.

MRn+1

n→∞

n→∞ n +2

(n +1)!

Поэтому lim

MRn+1

= 0

в силу необходимого признака сходимости. Из неравенства

(n +1)!

n→∞

(1.5) получаем lim Rn (x) = 0

длявсех

x (−R; R) . ▼

n→∞

3.2. Ряды Тейлора элементарных функций

∞

f

(n)

(0)

Рассмотрим разложение в ряд ∑

xn

основных элементарных функций.

n!

3.2.1. f (x) = e x

n=0

Эта функция имеет производные всех порядков на интервале (−c; c) , где c > 0 − любое

число, причем

f (n) (x)

= ex < ec , n = 0, 1, 2, .

Следовательно, показательная функция e x разлагается в ряд Тейлора на любом интер-

вале (−c; c) и, тем самым, на всей оси Ox. Т. к.

f (n) (0) = e0 =1 (n = 0, 1, 2, ) , то получаем

ряд

x

2

x

n

∞

n

e x =1+ x +

+ +

+ = ∑

x

.

(2.1)

2!

n!

n=0 n!

Радиус сходимости этого ряда R = +∞.

Если в разложении (2.1) заменить x на − x , то будем иметь

x

2

x

3

x

n

∞

x

n

e−x =1

− x +

−

+ +(−1)n

+ =

∑(−1)n

.

(2.1′)

n!

n!

3.2.2. f (x) = sin x

2!

3!

n=0

Данная функция имеет производные любого порядка, причем

(sin x)(n)

=

sin(x +n π2 )

≤1

для n = 0,1, 2, и x (−∞; +∞) . Тем самым, по теореме (1.2) функция sin x

разлагается в

сходящийся к ней на интервале (−∞; +∞)

ряд Тейлора. Так как

0

для n = 0, 2, 4, ,

f (n) (0) = sin

nπ

=

n+1

2

2

для n =1, 3, 5, ,

то этот ряд имеет следующий вид

(−1)

sin x = x −

x3

+

x5

− +(−1)n

x2n+1

+ = ∑(−1)n

x2n+1

.

(2.2)

(2n +1)!

3!

5!

(2n +1)!

37

Радиус сходимости ряда R = +∞.

3.2.3. f (x) = cos x .

Аналогично получаем, что

x

2

x

4

x

2n

∞

x

2n

cos x =1−

+

− +(−1)n

+ =

∑

(−1)n

,

R = +∞.

(2.3)

(2n)!

(2n)!

2!

4!

n=0

3.2.4. f (x) = (1+ x)α , где x > −1, α − любоевещественноечисло

Эта функция удовлетворяет соотношению

′

f (x)

(2.4)

(1+ x) f (x) =α

и условию f (0) =1.

Будем искать степенной ряд, сумма которого S(x) удовлетворяет соотношению (2.4) и

условию S(0) =1. Положим

Отсюда находим

S(x) =1+a1 x +a2 x2 +a3 x3 + +an xn

+ .

(2.5)

′

2

+ +nan x

n−1

+ .

(2.6)

S (x) = a1 +2a2 x +3a3 x

Подставляя соотношения (2.5) и (2.6) в формулу (2.4), будем иметь

(1+ x) (a1 +2a2 x +3a3 x2 + +nan xn−1 + ) =α(1+a1 x +a2 x2 +a3 x3 + +an xn + ) ,

или

a1 +(a1 +2a2 )x +(2a2 +3a3 )x2 + +(nan +(n +1)an+1 )xn + =

=α +α a1x +α a2 x2 + +α an xn + .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях ра-

венства, получим

a1

=α ,

a1 +2a2 =α a1 ,

2a2 +3a3 =α a2 ,

…………………..……..,

(n −1)an−1 +nan =α an−1 ,

откуда находим

…………………………,

a1

=α,

a2

=

α(α −1)

,

2!

a3

=

α(α −1)(α −2) ,

3!

...............................................,

an

=

α(α −1)(α −2) (α −n +1) ,

n!

...............................................,

Подставляя эти значения коэффициентов в соотношение (2.5), получим ряд

S(x) =1+α x +α(α −1) x2 +α(α −1)(α −2) x3 +

2!

3!

(2.7)

+α(α −1)(α −2) (α −n +1) xn +

n!

38

Найдем радиус сходимости ряда (2.7) в случае, когда α не является натуральным числом. Имеем

an+1

α(α −1) (α − n +1)

n +1

1

+

1

R = lim

= lim

n!

= lim

= lim

=1.

n

a

α α −

α

−

n

+

α

−

n)

α − n

α

−1

n→∞

n+1

n→∞

n→∞

n→∞

(

1) (

1)(

n

(n +1)!

Итак, ряд (2.7) сходится при

x

<1, т. е. на интервале (−1;1) .

Докажем, что сумма S(x)

ряда (2.7) на интервале (−1;1) равна (1+ x)α . Для этого рас-

смотрим отношение ϕ(x) =

S(x)

=

S(x)

.

f (x)

(1+ x)α

Так как S(x)

′

α

удовлетворяет соотношению (2.4),

1+ x S(x) , то для произ-

т. е. S (x) =

водной функции ϕ(x) получаем:

′

′

(1+ x)

α

′

(1+ x)

α−1

S(x)

′

S

(x) f (x) − f

(x)S(x)

=

S (x) −α

=

ϕ (x) =

(f (x))2

(1+ x)2α

(1

′

α S(x)

(1

+ x)

α

S

(x) −α S(x)

0

1+ x

=

+ x)S (x) −

=

=

= 0

α +1

(1

α +1

α +1

(1+ x)

+ x)

(1+ x)

для x (−1;1) . Отсюда следует, что ϕ(x) ≡ C = const

на (−1;1) .

В частности, при x = 0 имеем C =ϕ(0) =

S(0)

=1, и значит,

S(x)

=ϕ(x) ≡1,

1

1+α

т. е. S(x) = (1+ x)α , или

(1

+ x)α =1+α x +

α(α −1) x2 + +α(α −1) (α −n +1) xn + ,

(2.8)

2!

n!

где −1 < x <1.

Полученный ряд называется биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными коэффициентами.

	Замечание. В случае если α − натуральное число (α = n) , функция (1 + x)α						будет много-
	членом n-й степени, и Rn (x) ≡ 0 длявсех n >α .
	Отметим еще два разложения. Если α = −1, будем иметь
			1	=1− x + x2 − x3 + , −1 < x <1.			(2.9)
		1+ x
	Заменив x на − x в последнем равенстве, получим
			1	=1+ x + x2 + x3 + , −1 < x <1.			(2.10)
	3.2.5. f (x) = ln(1+ x), x >	1− x
		−1

Для получения разложения этой функции в ряд Тейлора по степеням x проинтегрируем равенство (2.9) в пределах от 0 до x, где x (−1; 1) . Имеем

	∫x	dt	= ∫x (1−t +t 2 + )dt ,
		1+t
	0		0

или

39

x2

x3

x4

(−1)n−1 xn

ln(1

+ x) = x −

+

−

+ +

+ .

(2.11)

2

3

4

n

Равенство (2.11) справедливо в интервале −1 < x <1. Заменяя в нем x на − x , получим

ряд

ln(1− x) = −x −

x2

−

x3

−

x4

− −

xn

− ,

(2.12)

где −1 < x <1.

2

3

4

n

Можно доказать, что равенство (2.11) справедливо и для x =1: ln 2 =1−

1

+

1

−

1

+ .

2

3

4

Таблица разложений в степенной ряд (ряд Маклорена) основных элементарных функций.

1.

ex =1+ x +

x2

+ +

xn

+ , −∞ < x < +∞ ;

n!

2!

x5

x2n+1

2.

sin x = x −

x3

+

− +(−1)n

+ ,

−∞ < x < +∞ ;

(2n +1)!

3!

5!

3.

cos x =1−

x2

+

x4

− +(−1)n

x2n

+ ,

−∞ < x < +∞ ;

2!

4!

(2n)!

4.

(1+ x)

α

=1+α x +

α(α −1)

x

2

+

+

α(α −1) (α −n +1)

x

n

+ , −1 < x <1;

2!

n!

1

=1− x + x2 − x3 + +(−1)n xn + , −1 < x <1;

1+ x

x2

x3

xn

5.

ln(1+ x) = x −

+

− +(−1)n−1

+ ,

−1 < x ≤1;

n

2

3

3

5

2n+1

2n+1

1 x

1 3

x

1 3 5

(2n −1)!! x

∞

(2n −1)!! x

6.

arcsin x = x +

+

+

+ +

+ = ∑

,

−1 < x <1;

2 3

(2n)!! 2n +1

(2n)!! 2n

2 4 5 2 4 6

n=1

+1

x

3

x

5

x

7

x

2n−1

∞

x

2n−1

7.

arctg x = x −

+

−

+ +

(−1)n−1

+ = ∑(−1)n−1

, −1 < x <1.

3

5 7

2n −1

n=1

2n

−1

Пользуясь этой таблицей, можно получать разложения в степенной ряд более сложных

функций. Покажем на примерах, как это делается.

Пример 2.1. Разложить функцию

1

в степенной ряд в окрестности точки x = 2 , т.

4 − x

0

е. по степеням разности x −2 .

▲ Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было использовать ряд (2.10) для функ-

ции	1	. Имеем
	1− x
		1							1								1				1			1
				=								=								=							.
						4 −((x −2) +2)									2 −(x −2)						2		1−(		x−2	)
			4 − x
																									2
	Заменяя в формуле (2.10)					x на		x −2		, получим
									2
		1				1			x −	2	x			− 2			2	x − 2 3
					=		1+				+						+							+			,
			4 − x 2						2					2				2

или

40

4 −1 x = 12 + x2−2 2 + (x −232)2 + (x −242)3 + .

Это разложение справедливо, когда выполнено любое из эквивалентных неравенств
		x −2		<1,		x −2		< 2, −2 < x −2 < 2, 0 < x < 4 . ▼
	2
			3

Пример 2.2. Разложить по степеням x функцию (1− x)(1+ 2x) , используя формулы

(2.9) и (2.10).

▲ Представим данную рациональную функцию в виде суммы двух простейших дробей:

3

=

1

+

2

=

1

+ 2

1

.

(2.13)

(1− x)(1+ 2x)

1− x

1+ 2x

1− x

1+ 2x

К первому слагаемому в правой части равенства (2.13) применим формулу (2.10) ко

второму (2.9), в результате чего получим степенные ряды

1

=1+ x + x2

+ x3 + ,

(2.14)

2

1− x

= 2(1−2x +(2x)2 −(2x)3 + ).

(2.15)

1+2x

Ряд (2.14) сходится для значений

x

<1.

Ряд (2.15) сходится для значений

2x

<1, т. е.

x

<

1

.

2

Оба ряда (2.14) и (2.15) будут сходиться одновременно для значений

x

<

1

.

2

Так как в интервале −

1

< x <

1

ряды (2.14) и (2.15) сходятся, то их можно почленно

2

2

складывать. В результате мы получим искомый степенной ряд

3

= (1+ x + x2 + x3 + + xn

+ ) + 2(1− 2x + 4x2 −8x3 + + (−1)n

2n xn + ) =

(1− x)(1

+ 2x)

= (1+ 2) + (1−22 )x + (1+ 23 )x2 + (1−24 )x3 + + (1+ (−1)n 2n+1 )xn + .

Радиус сходимости полученного ряда R = 12 . Этот ряд сходится абсолютно для x < 12 . ▼

Пример 2.3. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0 функцию arcsin x .

▲ Известно, что (arcsin x)′ =											1						= (1+(−x2 ))−											1		.
																												2
											1− x2
		Применим к функции (1+(−x2 ))−																		1	формулу (2.8), заменяя в ней x на − x2 . В результате
																				2
для		− x2		= x2 <1, т. е.	для −1 < x <1, получаем
				′		1		x	2		−	1		(−			1		−1)			x	4			−	1		(−		1	−1)(−	1	−2)	x	6
												2					2										2				2		2
					+ 2					+															−												+ =
				(arcsint) =1									2!																		3!
=1+								1 x2 +						1 3						x4 +				1 3 5					x6		+ .
													2!22
								2																	3!23

Интегрируя обе части последнего равенства от нуля доx (почленное интегрирование законно, так как степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке с концами в точках 0 иx, лежащем в интервале (−1;1) ), найдем

x	x	t	2		1 3			4		1 3 5			6
′				+			t		+			t
						2					3
∫(arcsin x)	dt = ∫ 1+	2			2!2					3!2				+ dt ,
0	0

41