+∞		xdx			b		xdx						1				b					1
∫					= lim																					1	.
										= lim	−							= lim	1	−					=
	(x	2	+1)	2	b→+∞ ∫	(x	2	+1)	2	b→+∞		2(x	2	+1)			1	b→+∞	4		2(b	2	+1)		4
1					1

		В силу интегрального признака ряд сходится. Обозначим сумму этого ряда через S , и
будем считать, что S ≈ S5 . Тогда
		S ≈ S5 =					1	+	2	+	3		+		4		+		5		= 0.25 +0.08 +0.03 +0.013841+0.007396 = 0.381237 .
							4		25		100				289				676
		Оценим погрешность R5 . Имеем
		+∞		xdx							b			xdx										1				b		1			1				1	≈ 0.019231. ▼
								= lim
R	≤																			= lim		−							= lim		−					=
		∫		2		2								2				2						2									2
5					+1)				b→+∞ ∫							+1)					b→+∞		2(x		+1)			5	b→+∞	52		2(b		+1)			52
		5 (x									5 (x

3. Знакопеременные ряды.

Абсолютно и условно (неабсолютно) сходящиеся ряды

Перейдем теперь к рассмотрению рядов, члены которых имеют разные знаки. При этом интерес представляют лишь те ряды, среди членов которых бесконечно много как положительных, так и отрицательных.

∞

Числовой ряд ∑an , членами которого являются вещественные числа любого знака,

n=1

называется знакопеременным.

Знакопеременными рядами будут, например, ряды

1+ cos1+ cos 2 + + cos n + , 1− 12 − 13 + 14 − 15 − 16 + .

В этом разделе мы рассмотрим один класс рядов, для которых вопрос о сходимости решается наиболее просто. Наряду со знакопеременным рядом a1 +a2 + рассмотрим ряд,

составленный из абсолютных величин его членов, т. е. a1 + a2 + .

∞

Определение. Знакопеременный числовой ряд ∑an называется абсолютно сходя-

n=1

∞

щимся, если сходится ряд ∑an .

n=1

∞

Ряд ∑an называется неабсолютно (условно) сходящимся, если он сходится, а ряд

		n=1
∞
∑		an		расходится.
n=1

					∞				∞
Теорема 3.1. Если сходится ряд ∑							an		, то сходится и ряд ∑an .
					n=1				n=1
									∞
	Таким образом, из абсолютной сходимости ряда ∑an вытекает его сходимость в
									n=1
	первоначальном смысле, т. е. в том, как это было определено в разделе 1.1.
	∞
▲ Поскольку ряд ∑			an		сходится, то в силу критерия Коши (теорема 3.1 раздела 1.3) для лю-
	n=1

бого числа ε > 0 существует такой номер N = N(ε) , что при всех n > N и любом целом p ≥ 0

n+p

n+p

n+p

n+p

n+ p

выполняется неравенство

∑

ak

= ∑

ak

< ε . Т. к.

∑ak

≤ ∑

ak

, то

∑ak

<ε .

k=n

k=n

k=n

k=n

k =n

20

∞
Это означает, что ряд ∑an	также сходится. ▼
n=1

∞
При исследовании ряда ∑		an		на сходимость можно применять все достаточные при-
n=1
знаки сходимости, установленные для положительных рядов.
				∞	∞
Замечание. Из сходимости ряда ∑an					сходимость ряда ∑		an		вообще говоря, не сле-
				n=1	n=1

дует, т. е. доказанная теорема дает лишь достаточное условие сходимости знакопеременного ряда.

Пример 3.1. Ряд 1− 12 + 13 − 14 + сходится по признаку Лейбница (будет доказан в следующем разделе), но ряд, составленный из абсолютных величин его членов, 1+ 12 + 13 + 14 + это гармонический ряд, который расходится.

4.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Вэтом разделе мы рассмотрим один класс рядов, для которых вопрос о сходимости может быть решен вне связи с положительными рядами.

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые два его соседних члена имеют разные знаки, т. е. anan+1 < 0 (n =1, 2, ) , т. е. ряд вида

∞

∑(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − + (−1)n−1 an + , где an > 0 (n =1, 2, 3, ) .

n=1

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости, который носит название признака Лейбница.

Теорема 4.1 (признак Лейбница). Пусть в знакочередующемся ряде a1 −a2 +a3 − 1) числовая последовательность {an } убывает, a1 > a2 > a3 > и

2) lim an = 0 .

n→∞

Тогда этот ряд сходится, причем его сумма S положительна и не превосходит первого чле-

на:0 < S ≤ a1 .

▲ Возьмем четную частичную сумму S2n этого ряда и запишем ее в виде

S2n = (a1 −a2 ) +(a3 −a4 ) + +(a2n−1 −a2n ) .

Из условия теоремы следует, что разности в скобках положительны и, значит, S2n > 0 , причем с возрастанием n частичная сумма S2n возрастает. Эту сумму можно записать и так:

S2n = a1 −(a2 −a3 ) −(a4 −a5 ) − −(a2n−2 −a2n−1 ) −a2n .

Здесь каждая скобка положительна, откуда следует, что S2n < a1 (n =1, 2, ) .

Итак, последовательность {S2n } монотонно возрастает и ограничена. Следовательно,

она имеет предел lim S	2n	= S , причем 0 < S ≤ a .
b→∞			1
Для нечетной частичной суммы S2n+1			будем иметь S2n+1 = S2n +a2n+1 (n =1, 2, ) .
По доказанному утверждению lim S2n = S , а по условию теоремы lim a					2n+1 = 0 .
		n→∞		n→∞
Поэтому существует предел lim S2n+1			= lim S2n +lim a2n+1 = S .
		n→∞	n→∞	n→∞
Таким образом, доказано, что lim Sn = S , т.				е. данный ряд сходится.	Из неравенства
		n→∞

0 < S ≤ a1 следует, в частности, положительность суммы ряда.

21

Пример 4.1. Знакочередующийся ряд 1− 12 + 13 − 14 + + (−1n)n−1 + сходится, так как

1) 1 >

1

>

1

> и

2

3

2) lim

1

= 0.

n

n→∞

∞

(−1)

n

Пример 4.2. Исследовать сходимость ряда ∑

.

n(n +1)

n=1

▲ 1) Составим ряд из абсолютных величин данного ряда

∞

1

и определим его сходи-

∑n=1 n(n +1)

1

мость. Ясно, что an

=

→ 0 . Выясним порядок малости величины an :

n(n +1) n→∞

a

n

=

1

~

1

.

n(n +1) n→∞ n2

∞

1

Так как и ряд

∑

сходится (ряд Дирихле, где значение ε = 2 >1),

то сходится ряд

2

n=1

n

∞

∑n=1

1

. Следовательно, по теореме 3.1 исходный ряд сходится абсолютно. ▼

n(n +1)

∞

(−1)

n+1

n

Пример 4.3. Исследовать сходимость ряда ∑

.

▲ Проверим признак Лейбница:

n=1

6n −5

1) 1 >

2

>

3

> ,

7

13

1

2) lim a

n

= lim

n

=

≠ 0 .

6n −5

6

n→∞

n→∞

Исходный ряд расходится. ▼

∞

n+1

Пример 4.4. Исследовать сходимость ряда ∑n=1

(−1)

.

n ln 2n

▲ Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда

∞

1

и определим его

∑n=1 n ln n

сходимость. Здесь удобнее всего применить интегральный признак: производящая функция

f (x) =

1

удовлетворяет условиям теоремы на промежутке [1; ∞] ;

x ln 2x

∞

dx

= lim

1

b d ln 2x

=

1

lim(ln ln 2x)

b

=

1

lim(ln ln 2b −ln ln 2)

= ∞.

∫1 x ln 2x

b→∞ 2

∫1 ln 2x

2 b→∞

1

2 b→∞

∞

1

Ряд ∑

расходится.

nln 2n

n=1

Проверим признак Лейбница:

1)

1

>

1

>

1

> ,

1 ln 2

2 ln 4

3ln 6

2) lim a

n

= lim

1

= 0 .

n→∞

n→∞ n ln 2n

∞

(−1)

n+1

∞

1

Так как ряд

∑

сходится, ряд ∑

расходится, то исходный ряд сходится

n ln 2n

n ln 2n

n=1

n=1

неабсолютно (условно). ▼

22