2.2. Интегрирование степенных рядов
	∞
Теорема 2.1	(о почленном интегрировании степенного ряда). Степенной ряд ∑an xn
	n=0

можно интегрировать почленно в его интервале сходимости (−R; R), R > 0 , причем радиус сходимости ряда, полученного почленным интегрированием, также равен R. В частности,

		x		∞		∞	a	n
	для любого x из интервала (−R; R) справедлива формула	∫0		∑an xn dt = ∑						xn+1 .
							n +1
			n=0			n=0

▲ Любую точку x из интервала сходимости (−R; R) можно заключить в некоторый отрезок [−c; c], где 0 < x < c < R . На этом отрезке данный ряд будет сходиться равномерно, а так как

члены ряда непрерывны, то его можно почленно интегрировать, например, в пределах от 0 до x . Тогда, согласно свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов,

x

∞

∞

x

∞ a

xn+1

∫ ∑antn dt = ∑an ∫tndt

= ∑

n

, x (−R; R) .

0 n=0

n=0

0

n=0

n +1

~

∞

an

n+1

∞

~

n

~

an−1

Найдем радиус сходимости R

полученного ряда ∑

x

=

∑an x

, где an =

,

n +1

n

~

n=0

n=0

n =1, 2,

= 0 ,

при

дополнительном

условии существования

конечного

предела

и a0

lim

an

= R . Имеем

an+1

n→∞

~

~

an

n +1

an−1

n +1

an−1

=1 R = R .

R

= lim

a~n+1

= lim

= lim

lim

n→∞

n→∞

n

an

n→∞

n

n→∞

an

Итак, радиус сходимости степенного ряда при интегрировании не меняется. ▼ Замечание. Утверждение теоремы остается справедливым и при R = +∞ .

2.3. Дифференцирование степенных рядов

Теорема 3.1 (о почленном дифференцировании степенного ряда). Степенной ряд

∞

S(x) = ∑an xn

n=0

можно дифференцировать почленно в любой точке x его интервала сходимости (−R; R) ,

R > 0 , при этом выполняется равенство

′

∞

n ′

∞

n−1

.

S (x) =

∑an x

= ∑nan x

▲ Пусть R – радиус сходимости ряда

n=0

n=0

∞

∑an xn ,

(3.1)

~

n=0

а R − радиус сходимости ряда

∞

∑nan xn−1 .

(3.2)

n=0

Предположим,

что

существует

(конечный

или

бесконечный)

предел lim

an

= R .

an+1

n→∞

~

∞

n−1

∞

~

n

~

Найдем радиус R ряда ∑nan x

= ∑an x

, где an = (n +1)an+1 . Имеем

n=1

n=1

33

~

~

an

n +1

an+1

R

= lim

an+1

= lim 1+

n +2

an+2

=1 R = R .

n→∞

~

n→∞

Тем самым, радиусы сходимости рядов (3.1) и (3.2) равны.

∞

Обозначим сумму ряда (3.2) через σ(x) : σ(x)

= ∑nan xn−1 .

n=1

Ряды (3.1) и (3.2) равномерно сходятся на любом отрезке [−c; c], где 0 < c < R . При этом все члены ряда (3.2) непрерывны и являются производными соответствующих членов ряда

(3.1). Поэтому, согласно свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов, на от-
~	(x) . В силу произвольности c последнее равен-
резке [−c; c] выполняется равенство σ(x) = S

ство выполнено и на интервале (−R; R) . ▼

∞

Следствие. Степенной ряд ∑an xn можно почленно дифференцировать сколько угодно

n=0

раз в любой точке x его интервала сходимости (−R; R) , причем радиусы сходимости всех получаемых рядов будут равны R .

3. Ряд Тейлора

	Определение. Будем	говорить, что функция f (x) разлагается	в степенной ряд
	∞
	∑an xn на интервале	(−R; R) , если на этом интервале указанный ряд сходится и его
	n=0
	сумма равна f (x) :
		∞
		f (x) = ∑an xn , x (−R; R) .	(1)
		n=0
	Докажем сначала, что функция f (x) не может иметь двух различных разложений в
степенной ряд вида (1).
Теорема 1. Если функция		f (x) на интервале (−R; R) разлагается в степенной ряд (1), то

это разложение единственно, т. е. коэффициенты ряда (1) по его сумме определяются однозначно.

▲ Пусть функция f (x) в интервале (−R; R) разложена в сходящийся степенной ряд

f (x) = a0 +a1 x +a2 x2 + +an xn + .

Дифференцируя этот ряд почленно n раз, найдем

f (n) (x) =1 2 3 (n −1)nan +2 3 (n −1)n(n +1)an+1 x + .

Положив x = 0 , получаем

f (n) (0) =1 2 3 (n −1)nan , или				f (n) (0)			= n!an , n = 0, 1, 2, ,
откуда
		an =	f (n)	(0)			(2)
(здесь f (0) (0) = f (0),	0!=1) .		n!
Таким образом,	коэффициенты an (n = 0, 1, 2, )						степенного ряда (1) формулой (2)

определяются однозначно. ▼

Замечание. Если функция f (x) разложена в степенной ряд по степеням разности x − x0 ,

34