1.2. Свойства сходящихся рядов

Над числовыми рядами можно совершать некоторые действия, допустимость которых обосновывается следующими теоремами.

Теорема 2.1. Если ряд

∞
a1 +a2 + +an + = ∑an	(2.1)

n=1

сходится, то сходится и ряд, полученный из него изменением (в частности, отбрасыванием) любого конечного числа членов. Обратно, из сходимости ряда, полученного из ряда (2.1) изменением (в частности, отбрасыванием) конечного числа членов, вытекает сходимость ряда (2.1).

▲ Для простоты рассмотрим случай, когда изменяются первые k членов ряда (2.1). Обозна-

~
чим через Sn n-ю частичную сумму нового ряда						(2.2)
			a1	+a2 + +ak +ak +1 + +an + .
			~	~	~
Разность	~	~	при n > k		постоянна (не зависит от n). Тем самым, последо-
	Sn	−Sn = Sk −Sk
вательности Sn	и	~
		Sn сходятся или расходятся одновременно и, значит, из сходимости ряда

(2.1) следует сходимость ряда (2.2). Верно и обратное, из сходимости ряда (2.2) следует схо-

димость ряда (2.1). ▼ Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа

его первых членов.

									∞
	Определение. Если в сходящемся ряде a1 +a2 + +an +an+1							+an+2 + = ∑an отбро-
									n=1
	сить первые n членов, то получим сходящийся ряд an+1 +an+2							+ +an+k	+ , который
							∞
	называют n -м остатком данного ряда и обозначают Rn						= ∑ak (здесь n фиксирова-
							k =n+1
					∞
	но). Тогда исходный ряд можно записать в виде ∑an = Sn						+ Rn .
					n=1
					∞
	Если S – сумма ряда ∑an , то остаток ряда Rn					= S −Sn	для любого n =1, 2, .
					n=1
					∞
	Пример 2.1. n-м остатком ряда ∑aqn−1 является ряд
					n=1
						∞
					Rn = aqn + aqn+1 + + aqn+k−1	+ = ∑aqk+n−1 .
						k=1
Он сходится при			q		<1.			∞
Теорема 2.2. Если все члены сходящегося ряда a1 +a2 + +an + = ∑an									умножить на од-
								n=1
						∞
но и то же число λ ≠ 0 , то ряд λa1 +λa2 + +λan + = ∑λan останется сходящимся, а
						n=1
					∞	∞
его сумма умножится на это число, т. е. ∑λan = λ∑an .
					n=1	n=1

∞∞

▲Составим n -е частичные суммы рядов ∑an и ∑λan . Имеем

n=1 n=1

7