Теорема 4.1 позволяет оценить n-й остаток Rn = ±(an+1 −an+2 + ) рассматриваемого ряда, который также является знакочередующимся рядом. По абсолютной величине остаток будет не больше абсолютной величины первого своего члена, Rn ≤ an+1 .

Т. к. Rn = S −Sn , то S −Sn ≤ an+1 , т. е. абсолютная погрешность, получающаяся при за-

мене суммы знакочередующегося ряда его n-й частичной суммой, не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда (an+1 ) .

Пример 4.5. Вычислить приближенно сумму ряда 1− 21! + 31! − 41! + + (−1n)!n−1 + , ограни-

чившись четырьмя членами, и оценить погрешность.

▲ Сходимость ряда очевидна. Положим приближенно S ≈ S4 =1− 12 + 16 − 241 = 0.625 . Тогда S −S4 ≤ 51! = 1201 . Абсолютная погрешность не превосходит 1201 ≈ 0.0083. ▼

Пример 4.6. Вычислить сумму ряда∑∞ (−21)n−1 с точностью ∆ = 0.001.

n=1 n 2n

▲ Так как данный ряд – знакочередующийся, сходящийся, то величина отброшенного при вычислении остатка ряда, который также является знакочередующимся рядом, не превосходит первого отброшенного члена. Нужное число членов n найдем путем подбора из неравен-

ства n212n ≤ 0.001. При n = 6 последнее неравенство выполняется, значит, если отбросить в

данном ряде все члены, начиная с шестого, то требуемая точность будет обеспечена. Следо-

вательно, S ≈ S5 = 12 − 161 + 721 − 2561 + 8001 = 0.449 . ▼

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

1.Основные определения

Вэтом разделе мы будем рассматривать ряды, членами которых являются не числа, а некоторые функции. Введем сначала понятие функциональной последовательности.

Пусть X − некоторое множество. Если всякому натуральному n поставлена в соответ-

ствие некоторая функция fn , определенная на X , то мы говорим, что на множестве X задана

функциональная последовательность { f }∞ 1 .

n n=

Рассмотрим последовательность функций

f1 (x), f2 (x), , fn (x), .	(1.1)
Зафиксировав x = x0 , получим числовую последовательность
f1 (x0 ), f2 (x0 ), , fn (x0 ), .	(1.2)
Функциональная последовательность { fn (x)} называется сходящейся в точке x0 , если
сходится соответствующая числовая последовательность { fn (x0 )}.
Последовательность { fn (x)} называется сходящейся к функции	f (x) на множестве
X, если для всех x X
lim fn (x) = f (x) .	(1.3)
n→∞
Последнее равенство означает следующее: для каждого x X и любого числа ε > 0
можно указать такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство
| f (x) − fn (x) | <ε .	(1.4)
Очевидно, номер N зависит от значения x X и числа ε > 0 , т. е.	N = N(ε; x) .
Пусть дан функциональный ряд
∞
∑ fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + + fn (x) + .	(1.5)

n=1

23

Зафиксируем некоторое значение x = x0 , получим числовой ряд

∞
∑ fn (x0 ) = f1 (x0 ) + f2 (x0 ) + + fn (x0 ) + .			(1.6)
n=1
∞
Если числовой ряд ∑ fn (x0 ) сходится, то значение		x0 называется точкой сходимо-
n=1
∞
сти функционального ряда ∑ fn (x) . Множество всех точек сходимости функционального
n=1
ряда называется областью его сходимости.
∞
Если числовой ряд ∑ fn (x0 ) расходится, то x0 называется точкой расходимости
n=1
∞
функционального ряда ∑ fn (x) .
n=1
Функциональный ряд называется сходящимся на некотором множестве, если он
		∞
сходится в любой точке этого множества. Функциональный ряд ∑ fn (x)			называется абсо-
		n=1
лютно сходящимся на множестве X, если на нем сходится ряд из модулей его членов:
∞
∑| fn	(x) | =| f1 (x) | +| f2 (x) | + +|	fn (x) | + .	(1.7)
n=1
	∞
Поскольку каждой точке	x0 сходимости ряда ∑ fn (x)	ставится в соответствие опреде-

n=1

∞

ленное значение суммы ряда ∑ fn (x0 ) , то сумма сходящегося на множестве X функцио-

n=1

	∞
нального ряда ∑ fn (x) является функцией переменной x.
	n=1
	Обозначим эту функцию через S(x) , тогда
	S(x) = lim Sn (x) ,	(1.8)
	n→∞
	∞
где	Sn (x) − n - я частичная сумма ряда ∑ fn (x) , т. е.
	n=1
	Sn (x) = f1 (x) + f2 (x) + + fn (x) ,	(1.9)
	∞
	S(x) = ∑ fn (x) .
	n=1
	∞
	Остатком функционального ряда ∑ fn (x) после n-го члена (или n-м остатком) назы-
	n=1
вается ряд, полученный из ряда данного отбрасыванием n его первых членов.
	∞
	Отметим, что функциональный ряд ∑ fn (x) и любой его остаток на множестве X од-
	n=1
новременно сходятся или расходятся.
	∞
	Пусть функциональный ряд ∑ fn (x) сходится на множестве X, S(x)	− его сумма,
	n=1
Sn	− n - я частичная сумма. Тогда на множестве X сходится и остаток данного ряда после n-
го члена. Сумму остатка обозначим через Rn (x) :

24