an + an+1 + an+2 + + a2n =

=1n + n 1+1 + n +1 2 + + 21n > n 1+1 + n +1 2 + + 21n > n +1 n + n +1 n + + 21n =

=21n + 21n + + 21n = n 21n = 12 .

Полученное неравенство выполняется для любого как угодно большого n. Отсюда следует, что для ε < 12 и p = n неравенство (3.1) не выполняется. Тем самым, в силу критерия

Коши гармонический ряд расходится.

Важное замечание. В известном смысле ряд является обобщением конечной суммы. Однако в отличие от конечной суммы, слагаемые в которой можно совершенно произвольно группировать и переставлять местами, отчего сумма, как известно, не меняется, действия с членами произвольного ряда нужно производить осмотрительно – последствия могут быть не всегда предсказуемыми.

Если в расходящемся ряде 1−1+1−1+1−1+ (не выполнен необходимый признак сходимости) попарно сгруппировать соседние группы (1−1) +(1−1) +(1−1) + ,

то получится сходящийся ряд 0 +0 +0 + .

2. Положительные ряды

При решении вопроса о сходимости непосредственное применение определения, как правило, затруднительно. Неудобным для практического применения является и сформулированное в теореме 3.1 (критерий Коши) необходимое и достаточное условие сходимости ряда. При его применении мы снова сталкиваемся с необходимостью вычислять суммы произвольного числа членов ряда. Простым и удобным для применения является условие

lim an = 0 . Однако это условие только необходимое, и, основываясь на нем, можно лишь

n→∞

установить расходимость тех рядов, для которых оно выполнено.

В дальнейшем мы рассмотрим несколько достаточных признаков сходимости рядов. С помощью этих признаков сходимость или расходимость ряда может быть установлена лишь на основании поведения его общего члена.

Наиболее простыми для изучения оказываются такие ряды, все члены которых имеют один и тот же знак.

	∞
Определение. Ряд	a1 +a2 + +an + = ∑an	называется положительным, если по-
	n=1

ложительны все его члены, т. е. an > 0 при всех n .

2.1. Признаки сравнения

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных условий сходимости рядов с положительными членами. Предварительно докажем теорему, которая будет использована в последующих рассуждениях.

∞

Теорема 1.1. Для того чтобы ряд ∑an с положительными членами сходился, необходимо и

n=1

достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

∞
▲ Необходимость. Пусть ряд ∑an	сходится. Это значит, что последовательность его
n=1

частичных сумм имеет предел. При этом предел lim Sn будет конечным тогда и только тогда,

n→∞

10

когда сумма Sn ограничена сверху, т. е. когда существует такое постоянное число M , что при всех n оказывается Sn < M .

∞

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ∑an ограничена. Из

n=1

равенства Sn = Sn−1 +an (n = 2, 3, ; an > 0) следует, что его частичные суммы образуют возрастающую последовательность. Поэтому на основании теоремы о пределе монотонной

ограниченной последовательности всегда существует lim Sn , т. е. последовательность ча-

n→∞

		∞
стичных сумм сходится, а, значит, сходится ряд ∑an . ▼
		n=1
		∞	∞
	Определение. Пусть даны два положительных ряда ∑an , ∑bn . Если при всех n будет
		n=1	n=1
	∞		∞
	an ≤ bn , то говорят, что ряд ∑bn	является мажорантным по отношению к ряду ∑an ,
	n=1		n=1
	∞		∞
	а ряд ∑an является минорантным по отношению к ряду ∑bn .
	n=1		n=1

Иначе говоря, каждый член минорантного ряда меньше (точнее не больше) соответствующего (т. е. имеющего тот же номер) члена мажорантного ряда.

Теорема 1.2 (первый признак сравнения). Пусть даны два ряда

	∞
	a1 +a2 + +an + = ∑an	,	(1.1)
	n=1
	∞
	b1 +b2 + +bn + = ∑bn .		(1.2)
	n=1
Члены an и bn положительны. Если для всех номеров n выполняется неравенство
	an ≤ bn ,		(1.3)
	∞	∞
то из сходимости ряда ∑bn следует сходимость ряда		∑an ,	а из расходимости ряда
	n=1	n=1
∞	∞
∑an	следует расходимость ряда ∑bn .
n=1	n=1
Теорему 1.2 можно сформулировать так: из сходимости мажорантного ряда следует
сходимость минорантного; расходимость минорантного ряда влечет расходимость
мажорантного.
▲ Составим частичные суммы рядов (1.1) и (1.2)
	~
	Sn = a1 +a2 + +an , Sn = b1 +b2 + +bn .
	Из условия (1.3) следует, что
	~		(1.4)
	Sn ≤ Sn для всех n =1, 2, .

Если ряд (1.2) сходится, то по теореме 1.1 (необходимость) последовательность его ча-

стичных сумм ограничена, т. е. для любого n	~
	Sn ≤ M , где M – некоторое число. Но тогда по

формуле (1.4) и Sn ≤ M , откуда по той же теореме 1.1 (достаточность) следует, что ряд (1.1) сходится.

11

Если же ряд (1.1) расходится, то ряд (1.2) также расходится, так как, допустив сходимость ряда (1.2) получим по только что доказанному сходимость ряда (1.1), а это противоречит условию теоремы. ▼

∞

1

Пример 1.1. Доказать сходимость ряда ∑

.

n

n=1

n 3

▲ Для установления сходимости данного ряда воспользуемся неравенством

a

n

=

1

<

1

(n ≥ 2)

n 3n

3n

∞

1

1 <1. Согласно признаку срав-

и сравним данный ряд с рядом, который сходится ∑

, q =

n

нения (теорема 1.2), исходный ряд сходится. ▼

n=1

3

3

∞

1

Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

1

> 1 для любого

n=1

n2 −1

▲ Так как

n ≥ 2 , то члены данного ряда больше соответствующих

n2 −1

n

членов расходящегося гармонического ряда. Значит, исходный ряд расходится. ▼

∞

1

Пример 1.3. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

n+1

n=1 (n +1)

1

1

▲ Для установления сходимости данного ряда воспользуемся неравенством

≤

,

(n +1)n+1

2n+1

и сравним исходный ряд с сходящимся рядом из членов геометрической прогрессии

∞

1

1

∑

q

=

<1 .

2

n+1

2

n=1

Согласно признаку (теорема 1.2) сравнения данный ряд сходится. ▼

Теорема 1.3 (второй признак сравнения). Пусть даны два ряда

∞

a1 +a2 + +an

+ = ∑an ,

(1.1)

n=1

∞

b1 +b2 + +bn

+ = ∑bn .

(1.2)

n=1

Члены an и bn положительны. Если существует конечный и отличный от нуля предел от-

ношения одинаковых по номеру членов рядов (1.1) и (1.2) c = lim an (0 < c < +∞) , то эти ряды

n→∞ bn

одновременно сходятся или расходятся.

▲ Из существования указанного выше предела вытекает, что для любого числа ε > 0 , найдется номер N такой, что для всех n > N будет выполняться неравенство

		an			<ε , или c −ε <	an	< c +ε .
			−c
		bn				bn
Взяв ε < c и обозначив m = c −ε					(m > 0), M = c +ε		(M > 0) , получим

m < an < M , или mbn < an < Mbn , n > N . bn

∞

Если ряд (1.2) сходится, то сходится и ряд ∑Mbn .

n=1

Но т. к. an < Mbn , n > N , то в силу теоремы 1.2 будет сходиться и ряд (1.1).

12

Если ряд (1.1) сходится, то из неравенства mbn < an и теоремы 1.2 следует, что сходит-

∞

ся ряд ∑mbn , тогда, очевидно, сходится и ряд (1.2).

n=1

Доказано, что из сходимости ряда (1.2) следует сходимость ряда (1.1) и обратно. Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается методом от противного. ▼

С помощью доказанных теорем сходимость или расходимость ряда можно установить путем сравнения c известным «эталонным » рядом.

Чаще всего в качестве эталонного ряда употребляются

	∞
	геометрический ряд ∑aqn−1 ,
	n=1
	∞	1	и
	гармонический ряд ∑
	n=1	n
			∞	1
	обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) ∑				(α > 0) .
				α
			n=1	n

Мы будем называть такие ряды гармоническими, хотя чаще это название относят лишь к ряду ∑∞ 1 .

n=1 n

В дальнейшем будет весьма просто доказано, что гармонические ряды сходятся

при α >1и расходятся при 0 <α ≤1.

∞

Пример 1.4. Исследовать на сходимость ряд ∑ln(1+

1

).

n

n=1

∞

▲ Сравним этот ряд с гармоническим рядом ∑

1

.

n

n=1

Имеем a

= ln(1+

1

), b

=

1

, lim

an

= lim ln(1+

1

)

=1. Так как предел конечен и отличен

n

n

n

n

n

n→∞ b

n→∞

1

n

n

от нуля, а гармонический ряд расходится, то и исследуемый ряд тоже расходится. ▼

∞

n2 +5

Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

3n

4

−2n

2

+ n

n=1

▲ Ясно, что a

n

=

n2

+5

→ 0 .

3n4 −2n2 + n n→∞

5

2

n

1+

1

2

Выясним порядок малости величины an : an

=

n

n~→∞

, следовательно, в

4

2

1

3n2

n

3 −

+

n2

n3

∞

1

качестве эталонного ряда выберем гармонический ряд

∑

. Это значит, что

2

n=1

n

n2 +5

4

5

n2 +5

1

an

n

1

+

1 ≠ 0

n4

a

=

, b =

, lim

= lim

3n4 −

2n2

+n

= lim

=

n

3n4 −2n2

+n

n

n2

n→∞ bn

n→∞

1

n→∞

n

4

3

−

2

+

1

3

n2

n2

n3

13