1. Если пространственная кривая L задана параметрическими уравнениями x = x(t); y = y(t); z = z(t); t1 ≤ t ≤ t2 , то

t2

∫ f (x, y, z)dl = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) (xt′)2 + (yt′)2 + (zt′)2 dt . (1)

L	t1				x = x(t);
2. Если интегрирование ведется по плоской кривой L :
y = y(t); t1 ≤ t ≤ t2
			t2
	∫ f (x, y)dl = ∫ f			(x(t), y(t)) (xt′)2 + (yt′)2 dt (2)
	L		t1		y = y(x);
3.	Если плоская кривая L			определена уравнением
a ≤ x ≤b , то
			b
	∫ f (x, y)dl = ∫ f			(x, y( x)) 1 + (y′x )2 dx .	(3)
	L		a		ρ = ρ(ϕ);
4.	Если кривая	L	задана полярным уравнением
ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 , то
		ϕ	f (ρcos ϕ,ρsin ϕ) ρ2 (ϕ)+ (ρ′ϕ )2 dϕ.(4)
	∫ f (x, y)dl = ∫2
	L	ϕ1

Решение задачи 5.1

Масса участка кривой определяется криволинейным интегралом m = ∫δ(x, y)dl = ∫x2dl , где L - отрезок прямой АВ.

L L

Запишем уравнение прямой АВ в каноническом виде.

x − xA

=

y − yA

,

x −3

=

y −1

,

x −3

=

y −1

.

xB − xA

yB − yA

2 −3

3 −1

−1

2

Упрощая это уравнение,

получим

y = −2x +7 ,

где 2 ≤ x ≤3 .

Поскольку y′ = (−2x +7)′ = −2 , сведем криволинейный интеграл к определенному интегралу, используя формулу (3).

m = ∫x	2	3	2	2	3	2	5dx = 5	x3 3		=	19 5	.
		dl = ∫x		1 + (− 2)	dx = ∫x			3	2		3
L		2			2

25

Решение задачи 5.2

Статический момент кривой относительно оси Oz определяется по формуле (см. Приложение):

Sz = ∫δ(x, y, z) x2 + y2 + z2 dl .

L

Поскольку кривая однородная, то плотность δ(x, y, z)≡1. Тогда

Sz = ∫ x2 + y2 + z2 dl .

L

2

+ y

2

= z

Уравнение кривой L

x

можно преобразовать к виду

z

=1

2

+ y

2

=1

x

.

z =1

Полученная система задает окружность с радиусом 1, лежащую в плоскости z =1. Используя параметрические уравнения окружности, запишем уравнения кривой L в параметрическом виде.

x = cos t
		≤ t ≤ 2π .
y =sin t , 0
	z =1

Вычислим криволинейный интеграл по формуле (1), учитывая равенства: xt′ = −sin t , yt′ = cost , zt′ = 0 , 0 ≤ t ≤ 2π .

2π

Sz = ∫ x2 + y2 + z2 dl = ∫ cos2 t + sin2 t +1 (−sin t)2 + (cos t)2 dt =

L

0

2π

= ∫ 2dt = 2 2π.

0

Решение задачи 5.3

m = ∫δ(x, y)dl =∫ x2 + y2 dl .

l

l

Приведем уравнение кривой к каноническому виду

26

x2 + y2 = 2x , x2 − 2x +1 −1 + y2 = 0 , (x −1)2 + y2 =1.

Это уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом

R =1 (рис. 15).

y
1	l
1	x

−1

Рис. 15.

Перейдём к полярным координатам:

x = ρcos ϕy = ρsin ϕ .

Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид:

ρ2 = 2ρcos ϕ или ρ = 2 cos ϕ, где − π2 ≤ ϕ ≤ π2 .

			π
			m = ∫2 ρ ρ2 (ϕ)+	(ρ′ϕ )2 dϕ =
			−π2
	π			((2 cos ϕ)′)2 dϕ =
	= ∫2		2 cos ϕ (2 cos ϕ)2 +
	−π2
π2				π2
= ∫	2 cos	ϕ 4 cos2 ϕ + 4 sin2 ϕ dϕ = 4 ∫cos ϕdϕ =
−π2				−π2
			27