- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2
- •Тема 6.1. Интегрирование функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 1.1
- •Решение задачи 1.2
- •Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Справочный материал
- •Механический смысл двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •Решение задачи 2.1
- •Решение задачи 2.2
- •Тройной интеграл
- •Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 3.1
- •Решение задачи 3.2
- •Тройной интеграл в сферических координатах
- •Решение задачи 3.3
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 4.1
- •Решение задачи 4.2
- •Решение задачи 4.3.
- •Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 5.1
- •Решение задачи 5.2
- •Решение задачи 5.3
- •Задача 6.1
- •Задача 6.2
- •Задача 6.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 6.1
- •Решение задачи 6.2
- •Решение задачи 6.3
- •Тема 6.2. Теория поля
- •Скалярное поле
- •Задача 7.1
- •Задача 7.2
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 7.1
- •Решение задачи 7.2
- •Решение задачи 7.3
- •Векторное поле
- •Задача 8.1
- •Задача 8.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 8.1
- •Решение задачи 8.2
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Теорема Стокса
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задания к типовым расчетам
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Полярная система координат
- •Эллиптические координаты
- •Сферическая система координат
- •Обобщенно эллиптические координаты
- •Механические приложения интегралов функций нескольких переменных
- •Механические приложения двойных интегралов
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения тройного интеграла
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения криволинейного интеграла первого рода
- •Статические моменты дуги
- •Координаты центра тяжести дуги
- •Моменты инерции дуги
- •Механические приложения поверхностного интеграла первого рода
- •Статические моменты участка поверхности
- •Моменты инерции участка поверхности
Вариант 12
|
4 |
2x2 |
|
|
|
|
1. |
∫dx ∫ f (x, y)dy . |
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
L : x = 0 (x ≥ 0); |
2. |
L : x2 +( y −1)2 =1; |
L : x2 |
+ y2 |
= 4 y ; |
||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
δ( x, y) = xy 2 .
3.S1 : x2 + y2 = z2 ; S2 : x2 + y2 + z2 = R2 ; S3 : y = 0 ; ( y ≥ 0) .
4.S1 : x = y2 + z2; S2 : x =1 ; ось OX .
5.Вычислить массу контура L : x2 + y2 = 4x , если плотность в
каждой его точке равна δ(x, y)= x − y .
6.Вычислить момент инерции относительно оси OZ однородного
участка поверхности z = x2 + y2 , (0 ≤ z ≤1).
7.U (х, у, z) = xy + y2 + xz , M (1; 1; 2) .
8. |
ar = (x + y)i + xy j ; L : y2 − x + 2 = 0 , M (3, 1), N(2, 0). |
|||||||||||||||||
9. |
ar = 3x ir − z j , |
|
|
S : x2 + y2 = 4 , |
|
P : z = 0 , |
P : z =2, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
P3 : y = 0, ( y ≥ 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
r |
|
r |
r |
|
|
2 |
r |
|
2 |
+ z |
2 |
=1 |
|
|
|||
10. |
= 2 y i |
−3z j + x |
k , Γ: |
x |
|
|
. |
|
||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
− |
y |
|
r |
r |
|
|
xy |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
ar |
= e z |
( i + |
x |
j |
− |
k ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
66
Вариант 13
|
3 |
2 |
y |
4 |
1+ |
4−y |
|
|
|||||
|
|
|
||||
1. |
∫dy |
3∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
||||
|
0 |
0 |
3 |
1− |
4−y |
2. |
L : (x2 + y2 )2 |
= a2 (x2 |
− y2 ) ; |
L : y = 0 ; |
(x > 0, y > 0); |
||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
δ(x, y) = x2 − y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
S : x2 + y2 + z2 |
= a2 . |
S |
2 |
: y = x |
S |
3 |
: x = 0, (x ≥ 0) , |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
S4 : 3x2 +3y2 = z2 (внутри конуса).
4. |
S : x2 |
+ y2 |
= (z −1)2; |
S |
2 |
: z = 0 , ось OZ . |
|
1 |
|
|
|
|
5.Вычислить статический момент относительно оси OX
однородной |
части |
кривой |
y = 2 x , 0 ≤ x ≤1 , находящейся в |
||||||
верхней полуплоскости. |
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Найти |
|
массу |
|
|
параболической |
|
оболочки |
|
z = |
1 (x2 + y2 ), (0 ≤ z ≤1), |
плотность |
которой меняется |
по закону |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ(x, y, z)= z . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
U (x, y, z)= (x2 + y2 + z2 ) |
|
, |
S : 2x2 − y2 + z2 −1 = 0 . |
|||||
7. |
2 |
||||||||
M (0;−3;4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
ar = (x2 + 2xy) ir + (x2 + y2 )rj , L : y = x2 , M (0, 0), N(1, 1 ). |
||||||||
9. |
ar = 3x i − y j − z k , S : 9−z=x2 |
+y2; S : z=0. |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
10. |
r |
r |
r |
|
x = 2 cos t; y = 2sin t |
. |
|
||
a = −x2 y3i + 4 j + xk |
, Γ: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z = 4 |
|
|
|
|
11. |
ar = |
xi + yj + zk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 |
|
|
|
|
|
|
67
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
1 |
y |
2 |
2−y2 |
1. |
∫dy ∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
2. |
L : |
x2 + y2 |
= Rx ; L : y = 0, ( y > 0) ; |
|
|
1 |
|
|
2 |
δ(x, y) = R2 − x2 − y2 .
3.S1 : x2 + y2 +z2 =16; S2 : x2 + y2 +z2 −8z =0 .
4. |
S |
: |
|
x2 |
+ y2 + z2 |
=1; |
S |
2 |
: |
|
x2 + y2 = 1 z2 ; ось OZ . |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Вычислить массу |
|
дуги |
линии |
x = t, y = |
t2 |
, z = |
t3 |
от точки |
|||||||||||||
|
2 |
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
, |
1 |
|
|
|
|
|
|
2, |
|
2, |
2 |
2 |
|
, если плотность в каждой ее |
||||||
A 1, |
|
|
до точки B |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
точке равна δ(x, y, z)= |
|
|
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Найти |
|
площадь |
|
|
участка |
|
поверхности |
x2 + y2 + z2 = 4 , |
|||||||||||||
вырезанной цилиндром x2 + y2 = 2 y . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
U (x, y, z)= ln(1 + x2 + y2 ) − |
|
x2 + z2 , |
|
|
M (3, 0, − 4) |
||||||||||||||||
S : x2 −6x +9 y2 + z2 = 4z +4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
r |
|
|
L : |
x = t , |
y =t2 , |
z = t3 . |
|||||
ar=(y2 −z2)i |
+2yz j −x2k , |
|
||||||||||||||||||||
M (0; 0; 0) , |
N(1;1;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
ar = x ir + y rj −(1 − z)k , S : x2 +y2 =z2; S : z =5. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
2 |
r |
|
2 |
r |
2 |
r |
|
|
2 |
+z |
2 |
=1− y |
|
|
|
|
||
10. |
= y |
i |
− x |
j + z |
|
|
x |
|
|
|
≥0) . |
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
k , Γ: |
|
|
|
; (y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
|
|
|
|
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ar = x2 i |
j + z2 k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
Вариант 15
|
|
a |
|
2ax∫−x2f (x, y)dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
2∫dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
a− |
a |
2 |
−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
|
L : (x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ) , |
|
|
|
|
|
|
δ(x, y) = a2 −x2 −y2 . |
||||||||||||||
(x > 0, y > 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
S1 : x2 +y2 +z2 −2z =0; S2 : x2 +y2 =2−z. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
S1 : x2 +y2 +z2 =a2; |
S2 : x2 + y2 + z2 = b2 ; |
S3 : z = 0 ; |
||||||||||||||||||||
z ≥ 0 , 0 < a <b ; ось OZ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Найти |
массу контура |
|
правого |
лепестка |
лемнискаты |
|||||||||||||||||
ρ2 = a2 cos2ϕ |
|
, |
|
если |
плотность |
|
|
в |
каждой |
его |
точке |
равна |
|||||||||||
δ(x, y)= x + y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Вычислить момент инерции полусферы |
z = |
R2 − x2 − y2 |
||||||||||||||||||||
относительно плоскости YOZ, если плотность в каждой точке равна |
|||||||||||||||||||||||
δ(x, y, z)= y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
U (x, y, z)= (x2 + y2 + z2 ) |
32 , M (1; 1; 1) , l |
= i − j + k . |
|
|||||||||||||||||||
8. |
ar = xy ir + (x2 − y2 ) j , L : y = x , M (1, 1), N(4, 2). |
|
|||||||||||||||||||||
9. |
ar = 2x i + 2 y j − (2z −1) k , |
|
|
S : x2 + y2 =1−2z , |
x ≥ 0 , |
||||||||||||||||||
y ≥ 0 , z ≥ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
− z |
2 |
= 0 |
|
|
|
|||
10. |
|
|
i |
+ |
j − 2 yz k , Γ: |
x |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
a = 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
11.ar = (y + z) i + (x + z) j + (y + x) k .
69