- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2
- •Тема 6.1. Интегрирование функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 1.1
- •Решение задачи 1.2
- •Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Справочный материал
- •Механический смысл двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •Решение задачи 2.1
- •Решение задачи 2.2
- •Тройной интеграл
- •Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 3.1
- •Решение задачи 3.2
- •Тройной интеграл в сферических координатах
- •Решение задачи 3.3
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 4.1
- •Решение задачи 4.2
- •Решение задачи 4.3.
- •Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 5.1
- •Решение задачи 5.2
- •Решение задачи 5.3
- •Задача 6.1
- •Задача 6.2
- •Задача 6.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 6.1
- •Решение задачи 6.2
- •Решение задачи 6.3
- •Тема 6.2. Теория поля
- •Скалярное поле
- •Задача 7.1
- •Задача 7.2
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 7.1
- •Решение задачи 7.2
- •Решение задачи 7.3
- •Векторное поле
- •Задача 8.1
- •Задача 8.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 8.1
- •Решение задачи 8.2
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Теорема Стокса
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задания к типовым расчетам
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Полярная система координат
- •Эллиптические координаты
- •Сферическая система координат
- •Обобщенно эллиптические координаты
- •Механические приложения интегралов функций нескольких переменных
- •Механические приложения двойных интегралов
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения тройного интеграла
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения криволинейного интеграла первого рода
- •Статические моменты дуги
- •Координаты центра тяжести дуги
- •Моменты инерции дуги
- •Механические приложения поверхностного интеграла первого рода
- •Статические моменты участка поверхности
- •Моменты инерции участка поверхности
Вариант 8
|
4 |
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∫dx |
|
∫ f (x, y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
4x−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
L : x2 |
+ y2 ≥ |
π2 |
; |
L : x2 |
+ y2 |
≤ π2 ; |
δ( x, y) = sin x 2 + y 2 . |
|||||
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
9 |
|
2 |
|
|
|
x 2 + y 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
S1 : x2 +y2 +z2 =a2; |
S2 : x2 + y2 = 3z2 ; S3 |
: x2 + y2 = |
z2 |
, |
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
(z ≥ 0), (между конусами).
4. |
S : x2 |
+ y2 + z2 = 2z; S |
2 |
: z =1, (z ≥1). |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Вычислить |
массу части |
|
|
|
|
|
|
x = a cost |
в первой |
||
окружности |
|
|||||||||||
четверти, если плотность δ(x, |
y)= |
|
|
|
y = a sin t |
|
||||||
|
x − y |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
6. |
Вычислить |
статические |
моменты однородной |
треугольной |
||||||||
пластинки |
x + y + z = a , |
(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) |
относительно |
координатных плоскостей.
7.U (х, у, z) = yzex , M(0; 0;1) .
8. |
ar=(x2 − y2)ir+(x2 + y2 )rj , |
L – ломаная, соединяющая точки |
|||
M (−1, 1), K(0, 1), N(1, 0). |
|
|
|||
|
r |
r |
r |
S : x2 + y2 =1 , |
P1 : z = 0 , |
9. |
ar=(x −y)i |
+(x +y) j |
+z2k , |
||
P2 : |
z =2. |
|
|
|
|
10.ar = xy ir + yz rj + xz k , Γ: x2 + y2 = 9 .
z + y + z =1
r |
|
2 r |
|
2x + z r |
|
1 r |
|||
11. a |
= |
|
i |
− |
|
j |
+ |
|
k . |
y |
y2 |
y |
62
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
||
|
2 |
4−x2 |
|
|
|
||
1. |
∫dx ∫ f (x, y)dy . |
|
|
|
|||
|
0 |
4−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
L : y = x; L : x = 0; |
L : x2 |
+ y2 |
= ay ; |
|||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
δ( x, y ) = x 2 + y 2 .
3.S1 : y = b; S2 : a2 y = x2 + z2.
4. |
S : x2 |
+y2 |
+z2 =4; S : z =1, (z >1). |
|
1 |
|
2 |
5. |
Вычислить |
статический момент относительно оси OX |
|
|
2 |
+ z |
2 |
= 4 y |
|
однородного контура L : |
y |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
6.Вычислить массу участка поверхности 9z =x2+y2 , (0 ≤ z ≤1),
если плотность в каждой ее точке δ(x, y, z)= |
9z . |
|
9 +4z |
7.U (х, у, ) = xy + xz + yz , M − 5 ; 1 ; 1 .
2 2 2
8. |
ar=(x2 +y2)ir−(x2 −y)rj |
L |
– |
ломаная, |
|
соединяющая |
точки |
|||||||
M (−1, 1), O(0, 0), N(2, 2). . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
ar=(x+y)ir−(x−y) rj +xyzk ; |
|
|
S : |
|
x2 + y2 =1 ; |
P : |
z=0; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
P2 : |
z = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
= 4 |
|
|
|
10. |
= y i |
+ (1 − x) j − z k , |
Γ: |
x |
|
|
|
> 0 . |
|
|
||||
a |
|
2 |
|
2 |
|
|
; z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ y |
=1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
11.ar=(yz−xy)ir+ xz− x2 rj +xykr.
2
63
Вариант 10
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
arcsin y |
1 |
|
arccos y |
|
1. |
∫ dy |
∫ f (x, y)dx + ∫dy |
∫ f (x, y)dx . |
||||
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2. |
L : y = 0, ( y > 0); |
L : x2 + y2 = ax ; δ(x, y) = y . |
|||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3.S1 : z = a2 − x2 ;
S5 : y = 0 .
x2 + y2 + z2
4.S1 : a2 b2 c2
(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).
S2 : x + y = a; S3 : y = 2x; S4 : z =0 ;
=1; S2 : x = 0; S3 : y = 0; S4 : z = 0;
5. |
Вычислить массу контура треугольника ABC, если линейная |
|||||
плотность |
в |
каждой |
его |
точке |
δ(x, y)= xy ; |
|
A(−1, 0); B(1, 0); C(0, 1). |
|
|
|
|||
6. |
Вычислить |
площадь |
участка |
поверхности |
z2 = x2 + y2 , |
|
вырезанной цилиндром x2 + y2 = 2 y, |
(z ≥ 0). |
|
7.U (х, у, z) = x3 y − xy3 +6z , M (0; 1; 1) .
|
r |
|
y |
r |
r |
L : y = ln x , |
M (1, 0), N(e,1). |
|
||
8. |
a |
= |
|
|
i |
+ x j , |
|
|||
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
r |
|
r |
|
|
r |
+yk , |
S : x2 + y2 =1 , |
P : z = 0 , |
|
a |
=xi |
−(x +2y) j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
P2 : 2x + y +3z =6.
10. ar |
r |
r |
|
2 |
+ z |
2 |
=1 . |
= yz i |
− x j |
+ z k , Γ : x |
|
|
|||
|
|
|
y = 4 |
|
|
r |
|
z |
r |
|
1 |
|
r |
|
1 |
|
|
11. a |
= |
|
|
i |
+ |
|
|
j |
− |
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
z +1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
r |
|
|
k . |
|
2 |
|
(z +1) |
|
|
|
|
64
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
e |
− ln y |
|
||
1. |
∫dy ∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx . |
|
|||||||||
|
0 |
− |
y |
|
|
1 |
−1 |
|
|||
2. |
L : (x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ), (x ≥ 0) , δ(x, y) = x2 + y2 . |
||||||||||
3. |
S : z =x2 +y2; S : y =x2; S : y =1; S : z −y =−1. |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
4. |
S |
: |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1; S : z =0, (z >0). |
|||
a2 |
b2 |
c2 |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
5.Вычислить момент инерции относительно оси OY
однородного участка линии y = ln x от точки A (x1 = 3) до точки
B (x2 = 8 ).
6. |
Вычислить массу полусферы x2 + y2 + z2 = a2 , (z ≥ 0), |
если плотность в каждой ее точке равна δ(x, y)= az .
7.U (х, у, z) = x2 yz , M (−2;2;1) .
8. |
ar=(x+y) i +(y+2x)j . |
L – |
ломаная, |
соединяющая точки |
||||
M (1, 2); K(1, 5); N(3, 5). |
|
|
|
|
|
|
||
9. |
ar = 2(z − y) rj + (x − z)k , S : z = 4 −2(x2 + y2 ) , P : z = 2 . |
|||||||
|
r |
r |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
ar = 4x i + 2 j − xy k , Γ : z = 2( x |
+ y |
) +1. |
|||||
10. |
|
|
||||||
|
|
|
|
z = 7 |
|
|
|
|
11. |
r |
r |
|
r |
|
|
|
|
ar = 2xy i |
+ (x2 − 2 yz)j |
− y2k . |
|
|
|
|
65