- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2
- •Тема 6.1. Интегрирование функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 1.1
- •Решение задачи 1.2
- •Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Справочный материал
- •Механический смысл двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •Решение задачи 2.1
- •Решение задачи 2.2
- •Тройной интеграл
- •Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 3.1
- •Решение задачи 3.2
- •Тройной интеграл в сферических координатах
- •Решение задачи 3.3
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 4.1
- •Решение задачи 4.2
- •Решение задачи 4.3.
- •Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 5.1
- •Решение задачи 5.2
- •Решение задачи 5.3
- •Задача 6.1
- •Задача 6.2
- •Задача 6.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 6.1
- •Решение задачи 6.2
- •Решение задачи 6.3
- •Тема 6.2. Теория поля
- •Скалярное поле
- •Задача 7.1
- •Задача 7.2
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 7.1
- •Решение задачи 7.2
- •Решение задачи 7.3
- •Векторное поле
- •Задача 8.1
- •Задача 8.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 8.1
- •Решение задачи 8.2
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Теорема Стокса
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задания к типовым расчетам
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Полярная система координат
- •Эллиптические координаты
- •Сферическая система координат
- •Обобщенно эллиптические координаты
- •Механические приложения интегралов функций нескольких переменных
- •Механические приложения двойных интегралов
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения тройного интеграла
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения криволинейного интеграла первого рода
- •Статические моменты дуги
- •Координаты центра тяжести дуги
- •Моменты инерции дуги
- •Механические приложения поверхностного интеграла первого рода
- •Статические моменты участка поверхности
- •Моменты инерции участка поверхности
проектировать в |
плоскость xOz или yOz , справедливы |
|
аналогичные формулы |
|
|
∫∫ f (x, y, z) dσ = ∫∫ f (x, y(x, z), z) 1+(y′x )2 +(y′z )2 dxdz , |
|
|
σ |
D |
|
где y = y(x, z) |
- уравнение поверхности σ, область D – |
ее |
проекция в координатную плоскость xOz . |
|
|
∫∫ f (x, y, z) dσ = ∫∫ f (x(y, z), y, z) 1+(x′y )2 +(x′z )2 dydz , |
|
|
σ |
D |
|
где x = x(y, z) |
- уравнение поверхности σ, область D – |
ее |
проекция в координатную плоскость yOz .
Решение задачи 6.1
Момент инерции однородного участка поверхности σ относительно оси Oy вычисляется по формуле (см. Приложение)
I y = ∫∫δ(x, y, z)(x2 + z2 )dσ = ∫∫(x2 + z2 )dσ.
σσ
Участок поверхности x2 + z2 = y2 при 0 ≤ y ≤ 4 показан на рис. 16. Ее удобно проектировать в плоскость xOz .
z
4 y
x
Рис. 16.
Записывая уравнение поверхности σ в виде y = x2 + z2 , и вычисляя производные
29
y′x = |
2x |
= |
x |
|
|
и y′z = |
|
2z |
= |
|
|
z |
, |
||
2 x2 |
+ z2 |
x2 + z2 |
|
2 x2 + z2 |
|
x2 |
+ z2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I y = ∫∫(x2 + z2 ) |
|
|
|
x |
2 |
|
x |
|
2 |
dxdz = |
|
||||
1+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||||
|
D |
|
|
|
x |
2 |
+ z2 |
|
|
x2 + z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫∫(x2 + z2 ) 1 + |
x2 |
+ |
x2 |
dxdz = |
||||
D |
x2 + z2 |
|
x2 + z2 |
|
|
|
|
|
= ∫∫(x2 + z2 ) |
2x2 +2z2 dxdz = |
∫∫(x2 + z2 ) |
2dxdz . |
|||||
D |
x2 + z2 |
|
|
D |
|
|
|
|
Областью интегрирования D является круг (рис. 17). Поэтому |
||||||||
удобно перейти к полярным координатам. |
|
|
|
|
||||
|
2π |
2 |
|
|
|
ρ4 |
2 |
= 8 2π . |
I y = 2 ∫∫ρ2 ρdϕdρ = 2 ∫dϕ∫ρ3dρ = 2 2π |
4 |
0 |
||||||
D |
0 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y
2
D 2 x
Рис. 17.
Решение задачи 6.2
Площадь участка поверхности σ вычисляется через поверхностный интеграл первого рода по формуле
S = ∫∫1dσ.
σ
30
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Рассмотрим |
систему |
x |
|
+ y |
|
+ z |
|
= 2 |
и |
подставим |
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
= z |
|
|
||||
x2 + y2 = z в |
первое уравнение. |
|
Тогда |
получим |
уравнение |
||||||
z2 + z −2 = 0 , из которого следует, что |
|
z = −2 и |
z =1. Поскольку на |
параболоиде z ≥ 0 , то линия пересечения сферы x2 + y2 + z2 = 2 и
параболоида x2 + y2 = z лежит в плоскости z =1.
z
2
1 σ
y
D
x
Рис. 18.
Чтобы получить уравнение линии пересечения заданных
поверхностей, подставим |
z =1 в уравнение |
x2 + y2 = z . Получим |
уравнение окружности |
x2 + y2 =1 (рис. |
18). Следовательно, |
поверхность σ проектируется в плоскость xOy на круг с центром в
начале координат и с радиусом 1.
Площадь участка сферы, вырезанного параболоидом, можно записать в виде двойного интеграла
S = ∫∫ 1+(z′x )2 +(z′y )2 dxdy .
D
Решая уравнение сферы относительно z
z = 2 − x2 − y2 , z ≥ 0 ,
и вычисляя производные
31
|
|
z′x = |
|
− x |
|
|
, |
z′x = |
|
− y |
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
2 − x2 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 − x2 − y2 |
|
|
|||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
2 |
|
|
|
− y |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
S = ∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy = |
|||||||
|
1 + |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
+ |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
D |
|
2 |
− x |
− y |
|
|
|
2 − x |
− y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ∫∫ |
1+ |
x2 |
|
+ |
|
|
y2 |
|
|
dxdy = ∫∫ |
|
|
|
|
2 |
|
dxdy = |
||||
− x2 − y2 |
|
− x2 − y2 |
|
2 − x2 − y2 |
|||||||||||||||||
D |
2 |
2 |
|
|
D |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
2 ∫∫ |
|
|
1 |
|
dxdy . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 − x |
2 − y |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В двойном интеграле по области |
D |
|
(рис. |
|
18) перейдем к |
||||||||||||||||
полярным координатам. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S = 2 ∫∫ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2π |
1 |
|
ρ |
|
dρ = |
|
|||||
|
|
−ρ2 |
ρdϕdρ = 2 |
∫dϕ∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
D 2 |
|
|
|
|
|
|
0 0 2 −ρ2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
2π 1 d (2 |
−ρ2 ) |
= − |
2 2π |
|
2 −ρ |
2 |
1 |
= |
|
|||||||||
|
= − 2 ∫dϕ∫ |
|
2 −ρ |
2 |
|
|
0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= −2 2 2π(1− 2 )= 4 2π( 2 −1). |
|
|
|
||||||||||||||||
Решение задачи 6.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Масса участка поверхности σ с плотностью |
|
δ(x, y)= x2 + y2 |
|||||||||||||||||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m = ∫∫(x2 + y2 )dσ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверхность σ, заданная уравнением |
z = x2 + y2 |
пересекается |
|||||||||||||||||||
плоскостью z =3 по окружности |
x2 + y2 =3 . |
Поэтому участок этой |
|||||||||||||||||||
поверхности, |
ограниченный |
|
плоскостями |
|
|
x = 0 , |
|
y = 0 , z =3 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проектируется в координатную плоскость xOy в четверть круга с
радиусом |
3 (рис.19). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поскольку |
|
|
z′x = 2x , z′y = 2 y , |
|
то |
|
поверхностный |
интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||||
сводится к двойному интегралу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m = ∫∫(x2 + y2 ) |
1 + 4x2 + 4 y2 dxdy , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в котором область интегрирования |
|
D - |
|
проекция |
σ в плоскость |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
xOy (рис. |
19). |
Перейдем |
|
|
в |
|
двойном |
|
|
интеграле к |
|
полярным |
|||||||||||||||||||||||||||
координатам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m = ∫∫ρ2 1 + 4ρ2 ρdϕdρ = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫dϕ ∫ ρ2 1 + 4ρ2 ρdρ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2π ∫ ρ2 1 + 4ρ2 ρdρ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем |
|
|
в |
последнем |
|
|
интеграле |
|
замену 1 + 4ρ2 = t2 , и |
||||||||||||||||||||||||||||||
выразим ρ2 = |
1 |
t2 |
− |
1 |
, 8ρdρ = 2tdt |
|
|
|
ρdρ = |
1 |
tdt . Пределами |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
интеграции для новой переменной t |
будут t1 =1 и t2 = |
13 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m = 2π ∫13 ( |
1 |
t2 − |
1 |
)t |
1 |
tdt = |
π |
|
∫13 (t4 − t2 )dt = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
4 |
4 |
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
π t5 |
− |
t3 |
|
13 |
= |
|
π |
|
169 |
13 |
− |
13 |
13 |
− |
1 |
+ |
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||
|
8 |
|
5 3 |
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
169 |
13 |
|
|
|
13 |
|
13 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
(221 |
3 +1). |
|||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
3 |
= |
60 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33