Задания к типовым расчетам

1. Изменить порядок интегрирования.

2. Варианты 1–17. Найти массу пластины, ограниченной указанными линиями, если δ (x, y) - поверхностная плотность.

. Варианты 18–27. Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями с помощью двойного интеграла.

3.Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями с помощью тройного интеграла

4.Варианты 1–11, 25–27. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного указанными поверхностями.

Варианты 12–18. Найти момент инерции относительно указанной оси однородного тела, ограниченного заданными поверхностями.

Варианты 19– 24. Найти статический момент относительно указанной плоскости однородного тела, ограниченного заданными поверхностями

5.6. Задание в варианте.

7. Варианты 1 – 6, 13,14. Найти производную скалярного поля U в точке M по нормали к поверхности S , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz .

Варианты 7 – 12. Найти направление наибольшего возрастания поля U в точке M и скорость его возрастания в этом направлении.

Варианты 15 – 27. Найти производную скалярного поля U в точке

Mпо направлению вектора l .

8.Найти работу поля вектора a при перемещении точки вдоль линии

Lот точки M к точке N .

9.Варианты 1 – 12. Найти поток векторного поля a через часть

поверхности S , вырезанную плоскостью P или плоскостями Pk

непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Остроградского (нормаль внешняя).

Варианты 13 – 27. . Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность непосредственно и с помощью формулы ГауссаОстроградского (нормаль внешняя).

10.Найти циркуляцию вектора a по контуру Γ по формуле Стокса и непосредственно (направление обхода контура по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

11.Проверить потенциальность поля a и найти его потенциал.

54

			Вариант 1
−1		0	0	0
1.	∫ dy	∫ f (x, y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx .
−	2	− 2−y2	−1	y

2.L1 : y = 0; L2 : x2 + y2 = a2 , ( y ≥ 0) ; δ (x, y)= e x2 +y2 .

3.

S1 : x = 0 ;

S2 : y = 0 ;

S3 : z =1 ;

S4 : z = a2 − x2 +1, (a > 2); S5 : x 2 + y 2 = a 2 .

4.

S : x2 + y2

+ z2

=1 ;

S

2

: x = 0;

S

3

: y = 0 ;

S

4

: z = 0 ;

1

(х ≥ 0, у ≥ 0, z ≥ 0) .

5.Вычислить момент инерции относительно оси OX однородного

участка линии L :		x = a (t −sin t)
		y = a (1−cos t) (первая арка).
6.	Вычислить	площадь части	поверхности		z = x2 + y2 ,
отсеченной плоскостью z = 4 .
7.	U (х, у, z) = 4ln(3 + x2 )−8xyz ,		S : x2 −2 y2 +2z2 =1 ,
M (1; 1; 1) .
8.	ar = (x2 + 2y) ir+( y2 + 2x) rj ,		L : y = 2 − 1 x2	,	M (−4; 0) ,
N (0; 2) .			8

9.ar = (x + xy2 )ir+( y − yx2 ) rj +(z −3)kr ;

S : x2 +y2 =z2 , (z ≥0), P : z =1.

	r	r	r	r		2	+ y	2	=1
10.		= (x2 − y) i	+ x j	+ k ,	x					.
	a				Γ :
						=1
					z
11.	ar = x i + y j + z k .
		1 + x2 + y2 + z2

55

Вариант 2

22 x

1.∫dx ∫ f (x, y)dy .

12x

2.	L : y = a2		− x2 ;	L : y = a2		− x2 , (x ≥ 0) ,	L : y = 0 ,
	1			2	4		3
δ(x, y)=		1	.
	a2 − x2 − y2
3.	S : x2	+ y2	+ z2 = a2 ;	S : x2	+y2 +z2 =b2 ;		(0 < a2 < b2 ) ,
	1			2

S3 : x2 + y2 =z2, (z ≥0).

4.	S : az=a2	−x2	−y2; S : z =0.
	1		2

5.Вычислить массу отрезка прямой AB, если линейная плотность

в каждой точке δ

(x, y)=

1

;

A(0;0;−2),

B(4;0;0).

x

−z

6.

Вычислить

статический

момент

относительно

оси OZ

однородного участка поверхности z2 = x2 + y2 , 0 ≤ z ≤ 4 .

7.

U (x, y, z)= x

y + y

z ,

S :

4z + 2x2 − y2 = 0 , M (2; 4; 4) .

8.

r

r

+(x2 −y2)

r

y = x,

0 ≤ x ≤1

,

a

=(x2 +y2) i

j ,

L :

− x,

1 ≤ x ≤ 2

y = 2

M (2; 0) , N(0; 0) .

ar

r

r

(z ≥ 0). P : z = 4 .

9.

= y i − x j +k , S : x2 + y2 = z2 ,

r

r

r

2

+ y

2

) −1

10.

= xz i − x

j + y k ,

z = 5(x

.

a

Γ:

z = 4

11.ar =(x2 −2yz)ir+(y2 −2xz) rj +(z2 −2xy)kr .

56

Вариант 3

0 2−x2

1.∫ dx ∫ f (x, y)dy .

−1 x2

2. L1 : x2 + y2 ≥ 9; L2 : x2 + y2 ≤ 25 ; δ(x, y)= x2 + y2 −9 .

3.S1 : x2 + y2 + z2 = R2 ; S2 : x2 + y2 = a2 z2 , (внутри конуса).

4.	S : x2	+4z2	= 4 y; S	2	: y = 2.
	1
5.	Вычислить		массу дуги параболы y2 = 2 px , отсеченной

параболой x2 = 2 py , если плотность в каждой точке равна ординате

этой точки.

6.

Вычислить

моменты

инерции

однородной

треугольной

пластинки

x + y + z =1

(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)

относительно

координатных плоскостей.

7.

U (x, y, z)= −2ln(x2 −5) − 4xyz ,

S : x2 +2 y2 −2z2 =1 ,

M (1; 1; 1) .

8.

ar=(x −2z)ir+(x +3y +z)rj +(5x +y)k ,

L

-

ломаная,

соединяющая точки M (0, 0, 1), K (1, 0, 0), N (1, 1, 0).

9.

ar=xy i −x2 j +3 k , S : x2 + y2

= z2 , (z ≥ 0), P : z =1.

r

r

r

r

r

r

2

+ y

2

+ z

2

= 25

10.

= yz i +2xz j + xy k , Γ:

x

, z > 0 .

a

2

2

+ y

= 9

x

11.

ar = yz(2x + y +z) i +xz(x +2y +z) rj +xy(x + y +2z) k .

57