- •РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМАМ 6.1, 6.2
- •Тема 6.1. Интегрирование функций нескольких переменных
- •Двойной интеграл
- •Задача 1.1
- •Задача 1.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 1.1
- •Решение задачи 1.2
- •Задача 2.1
- •Задача 2.2
- •Справочный материал
- •Механический смысл двойного интеграла
- •Геометрический смысл двойного интеграла
- •Решение задачи 2.1
- •Решение задачи 2.2
- •Тройной интеграл
- •Задача 3.1
- •Задача 3.2
- •Задача 3.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 3.1
- •Решение задачи 3.2
- •Тройной интеграл в сферических координатах
- •Решение задачи 3.3
- •Задача 4.1
- •Задача 4.2
- •Задача 4.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 4.1
- •Решение задачи 4.2
- •Решение задачи 4.3.
- •Задача 5.1
- •Задача 5.2
- •Задача 5.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 5.1
- •Решение задачи 5.2
- •Решение задачи 5.3
- •Задача 6.1
- •Задача 6.2
- •Задача 6.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 6.1
- •Решение задачи 6.2
- •Решение задачи 6.3
- •Тема 6.2. Теория поля
- •Скалярное поле
- •Задача 7.1
- •Задача 7.2
- •Задача 7.3
- •Справочный материал
- •Решение задачи 7.1
- •Решение задачи 7.2
- •Решение задачи 7.3
- •Векторное поле
- •Задача 8.1
- •Задача 8.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 8.1
- •Решение задачи 8.2
- •Задача 9.1
- •Задача 9.2
- •Справочный материал
- •Решение задачи 9.1
- •Решение задачи 9.2
- •Задача 10
- •Справочный материал
- •Теорема Стокса
- •Решение задачи 10
- •Задача 11
- •Справочный материал
- •Решение задачи 11
- •Задания к типовым расчетам
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Полярная система координат
- •Эллиптические координаты
- •Сферическая система координат
- •Обобщенно эллиптические координаты
- •Механические приложения интегралов функций нескольких переменных
- •Механические приложения двойных интегралов
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения тройного интеграла
- •Статические моменты
- •Координаты центра тяжести
- •Моменты инерции
- •Механические приложения криволинейного интеграла первого рода
- •Статические моменты дуги
- •Координаты центра тяжести дуги
- •Моменты инерции дуги
- •Механические приложения поверхностного интеграла первого рода
- •Статические моменты участка поверхности
- •Моменты инерции участка поверхности
= 2π (1 |
ρ2 |
|
1 |
ρ4 ) |
1 |
1 |
|
1 |
|
= |
π |
|
||
− |
0 |
= 2π |
2 |
− |
4 |
|
2 |
. |
||||||
|
||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Тройной интеграл в сферических координатах
Если границы области интегрирования V удобно задавать в сферических координатах (см. приложение), то тройной интеграл преобразуется по формуле:
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz =
V
= ∫∫∫ f (r cosϕsin θ, r sin ϕsin θ, r cos θ)r2 sin θdϕdθdr ,
V ′
где r ≥ 0 , 0 ≤ ϕ≤ 2π и 0 ≤ θ≤ π, сферический радиус, полярный угол и азимутальный угол соответственно.
Решение задачи 3.3
Уравнение сферы x2 + y2 + z2 = a2 в сферических координатах имеет вид: r = a .
Уравнение конической поверхности x2 + y2 = z2 в сферических координатах имеет вид:
r2 sin2 θ(cos2 ϕ + sin2 ϕ)= r2 cos2 θ, или sin2 θ = cos2 θ , tg2 θ =1, tg θ = ±1 .
Решим последние уравнения относительно азимутального угла
θ = π |
и |
θ = |
3π |
, |
и учтем, |
что неравенству |
z ≥ 0 |
соответствует |
|
|
|||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
первое из этих уравнений θ = |
π (верхняя полость конуса). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Координатная |
плоскость |
y = 0 в |
сферических |
координатах |
|||||
задается двумя полуплоскостями: ϕ = 0 |
при |
x ≥ 0 |
и ϕ = π при |
||||||
x ≤ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
z |
θ |
= |
π |
|
4 |
||
r = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
Рис. 12. |
|
|
|
Вид области Ω показан на рисунке 12. В сферической системе координат эту область можно задать неравенствами:
0 ≤ ϕ ≤ π |
|
|||
|
|
≤ θ ≤ |
π |
. |
0 |
4 |
|||
|
0 |
|
|
|
|
≤ r ≤ a |
|
V = ∫∫∫1 dV
Ω
Тройной интеграл запишется в сферических координатах в виде:
V= ∫∫∫1dV = ∫∫∫r2 sin θdr dϕdθ =
ΩΩ
|
|
π |
|
π |
|
a |
|
|
|
π |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r3 |
|
|
2 |
a3 |
|
||||
|
|
4 |
|
|
2 |
dr = π (−cosθ) |
|
|
||||||||||
|
= ∫dϕ∫sin θdθ∫r |
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
0 3 |
|
= π |
2 |
+1 |
3 |
|||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
= |
πa3 |
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 4.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного |
|||||||||||||||||
поверхностями x2 + y2 + z2 = 4 , |
y = 0 , (y ≥ 0). |
|
|
|
|
|
19