- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Глава IV
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
Исследуем напряжения в наклонных сечениях растянутого· стержня. Проведем сечение пі (фиг. 4. 1), образующее угол а. с поперечным сечением пт. Отбросим верхнюю часть и прило-
Фиг. 4. 1. Напряжения в наклонных сечениях.
а — наклонное сечение; б — распределение полных напряжений; в — со
ставляющие полного |
напряжения; |
г — распределение нормальных |
и |
касательных |
напряжений. |
жим к нижней части внутренние силы взаимодействия между частями, предполагая их распределенными равномерно по на клонному сечению (фиг. 4. 1,6), как это было принято в § 1 пре дыдущей главы для поперечного сечения. Внутренние силы на-
9S
правлень/ параллельно растягивающей силе, т. е. вдоль оси стержня, и в сумме составляют силу N. Из условия равновесия оставшейся части N=P. Разделив силу N на площадь наклонного сечения Fa, получаем в этом сечении напряжение, которое назы вается полным напряжением:
( 1)
Площадь наклонного сечения F* можно выразить через площадь поперечного сечения F:
|
|
|
р — _F_ |
· |
|
|
|
|
|
|
|
i а — |
|
|
|
|
|
|
|
|
COS а |
|
|
|
|
|
Подставляя |
значение Fa в |
уравнение (1) |
и принимая во |
|||||
внимание, что |
N |
|
|
|
|
|
||
— = σ, получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
F |
|
|
|
|
/0 4 |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
ра = — cos а = acos а. |
(2) |
||||
Полное |
напряжение рЛ разложим в каждой |
точке сечения |
||||||
на две |
составляющих (фиг. 4.1, в). Одну из них, σα, направим |
|||||||
перпендикулярно к сечению, а вторую, |
τ„, — параллельно пло |
|||||||
скости |
сечения. Угол между |
ра и |
σα |
равен |
углу a между |
|||
наклонным |
и поперечным сечениями, |
так как р « перпендику |
лярно поперечному сечению, а «„—наклонному. Поэтому σα = = р аcos a и Ta = pasina. Подставляя сюда р а из уравнения (2),
находим |
|
|
|
acos2a, |
τα = σ cos a sin a ==— sin 2a. |
(3) |
|
|
|
2 |
|
Составляющая в „ |
является |
нормальным напряжением, а |
|
τ, — касательным напряжением |
в рассматриваемом |
наклонном |
сечении. Они распределены сплошь по всему сечению (фиг. 4.1,г). Таким образом при центральном растяжении или сжатии в лю
бом наклонном сечении |
одновременно возникают нормальные |
|
напряжения σα и касательные напряжения τ α, зависящие |
от |
|
нормальных напряжений |
о в поперечном сечении и от угла |
a |
между сечениями. Это можно иллюстрировать следующим при мером.
Разрежем стержень на две части по наклонной плоскости. Если поверхность разреза гладкая, то при действии сжимающих' сил произойдет скольжение одной части относительно другой (фиг. 4. 2,а). Но если сечение сделать с зубом (фиг. 4. 2,6), то скольжения не будет. Зуб воспримет на себя касательную силу Та, которая стремится его сколоть (фиг. 4. 2,е). В неразрезан ном стержне роль зуба выполняют силы сцепления между ча стицами материала. Они препятствуют скольжению одних частиц относительно других — возникают касательные напряжения τ„, распределенные по всей наклонной плоскости.
96
Условимся о правиле знаков. Будем считать растягивающие
нормальные |
напряжения |
положительными |
(фиг. |
4.3,а и в), |
||||||||
а сжимающие — отрицательными |
(фиг. 4.3,6 и г). |
Касательное |
||||||||||
напряжение |
будем |
счи |
|
|
|
|
|
|
||||
тать положительным, если |
|
|
|
|
|
|
||||||
оно |
направлено |
вправо |
|
|
|
|
|
|
||||
для |
наблюдателя А, |
на |
|
|
|
|
|
|
||||
ходящегося |
на |
рассмат |
|
|
|
|
|
|
||||
риваемой |
части |
бруса |
|
|
|
|
|
|
||||
(фиг. 4. 3,а и б), и отрица |
|
|
|
|
|
|
||||||
тельным, если оно направ |
|
|
|
|
|
|
||||||
лено |
влево |
(фиг. 4. 3,в и |
|
|
|
|
|
|
||||
г). Положительные каса |
|
|
|
|
|
|
||||||
тельные |
напряжения |
со |
|
|
|
|
|
|
||||
здают |
относительно |
лю |
|
|
|
|
|
|
||||
бой точки на той части |
|
|
|
|
|
|
||||||
бруса, к которой они при |
|
|
|
|
|
|
||||||
ложены, момент, вращаю |
|
|
|
|
|
|
||||||
щий |
по |
часовой |
стрелке. |
|
|
|
|
|
|
|||
Момент |
отрицательных |
|
|
|
|
|
|
|||||
касательных |
напряжений |
Фиг. |
4.2. |
Появление |
касательных сил |
|||||||
вращает эту часть против |
|
в |
наклонном |
сечении. |
||||||||
часовой стрелки. |
Угол а |
а — одна часть разрезанного бруса скользит |
||||||||||
считается положительным, |
по другой; |
б— скольжение |
задержано зу |
|||||||||
бом; в — касательная |
сила, |
скалывающая |
||||||||||
если |
наклонное |
сечение |
||||||||||
|
|
|
зуб. |
|
||||||||
повернуто |
относительно |
|
|
|
(фиг. 4. 1). |
|||||||
поперечного сечения против часовой стрелки |
||||||||||||
Рассмотрим, как изменяется напряжение σα в зависимости |
||||||||||||
от изменения угла а. |
По |
уравнению |
(3) наибольшее значение |
Фиг. 4.3. Правило знаков напряжений.
а — растягивающее нормальное напряжение поло жительно, положительное касательное напряжение действует по часовой стрелке; б— сжимающее нор мальное напряжение отрицательно; в ·— отрицатель ное касательное напряжение действует против часо
вой стрелки; г — оба напряжения отрицательны.
оно имеет при а = 0, т. е. когда наклонное сечение совпадает с поперечным сечением стержня, потому что косинус угла а.=0 по лучает максимальное свое значение, равное единице, и σα = σ0 =
7 Основы строительной механики |
97 |
— а — — . Нормальное напряжение в поперечном сечении растя-
Р
нутого или сжатого стержня по величине больше, чем в любом наклонном сечении. При а=90°, т. е. когда площадка F„ па
раллельна оси стержня, по уравнению (3) получаем, |
что с =0, |
так как cos90°=0. Это значит, что при растяжении |
и сжатии |
продольные волокна, которые можно мысленно представить в брусе, друг на друга не давят.
Исследуем изменение касательных напряжений х«. В попе
речных сечениях бруса, т. е. когда |
а = 0, |
касательные напряже |
|
ния по уравнению (3) |
равны нулю, так как sin 2<х=0. Наиболь |
||
шее значение sin 2α = 1 получается |
при |
угле 2а = 90° или при |
|
а = 45°. Касательные |
напряжения здесь |
достигают наибольшей |
|
величины |
|
|
|
Наибольшее касательное напряжение при растяжении или сжа тии равно по величине половине наибольшего нормального на пряжения и возникает на площадке, наклоненной под .углом 45° к оси стержня. На площадках, параллельных оси стержня, т. е. когда а=90°, касательные напряжения равны нулю, так как при этом sin 2 а —sin 180°=0.
З а к о н п а р н о с т и к а с а т е л ь н ы х н а п р я ж е н и й .
Касательные напряжения в любых двух взаимно перпендикуляр ных площадках, направленные перпендикулярно линии пере сечения площадок, равны по величине и обратны по знаку. Для доказательства этого положения рассмотрим площадку пі (фиг. 4. 4,а), наклоненную под углом а. По формуле (3) для нее
получаем касательное напряжение τα = — sin 2α. Теперь рас
смотрим другую площадку пт, расположенную под углом 90° к первой. Чтобы получить касательное напряжение на этой пло щадке, в формулу (3) нужно подставить вместо а угол а+90°:
та+90= -Д sin 2 (а -f-90°).
Так как
sin 2(а + 90°) = sin (2а + 180°) = — sin 2a,
то касательное напряжение на площадке пт равно
τα+90=----Sin ^α"
Сравнивая его с τα, видим, что они равны по величине, но имеют разные знаки
τα+90. (5)
На фиг. 4. 4,6 показаны напряжения а и τ на четырех пло щадках, ограничивающих прямоугольный элемент mnlk, выде ленный из стержня.
98
Закон парности касательных напряжений является общим свойством любого напряженного состояния. Если установлено, что в какой-нибудь площадке возникает касательное напряже-
Фиг. 4.4. Закон парности касательных напряжений.
а — взаимно перпендикулярные |
площадки; б — напряжения |
во взаимно перпендикулярных |
гранях элемента бруса. |
ние, то в площадке, ей перпендикулярной, также возникает та кое же по величине касательное напряжение в соответствии с за коном парности.
Пример 1. Определим величину нормальных и касательных напряжений в косом сварном шве, соединяющем две части растя-
Фиг. 4.5. Косой сварной шов.
нутой полосы (фиг. 4. 5), если ширина полосы Ь= 6 см, толщина і = 0,5 см, сила N=2400 кг и угол а=45°.
7* |
99 |