§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней

Выше в данной главе рассмотрен продольный изгиб стержней под дей­ ствием осевых сжимающих сил. В практике часты случаи, когда стержень не только сжат продольными силами, но и испытывает одновременно изгиб поперечной нагрузкой. Так, пояса лонжеронов и нервюр не только работают как составные части ферм на продольные растягивающие или сжимающие усилия, но могут воспринимать также местные изгибающие аэродинамические нагрузки, передающиеся им от примыкающей обшивки. Пояса балки с тонкой стенкой, потерявшей устойчивость, нагружены, помимо сжимающих или растя­

гивающих поясных усилий, также изгибающими усилиями натяжения обшивки (см. далее пример).

			Фиг. 14. 16.
а — при	наличии	продольных сжимающих сил N			прогиб	у по сере­
дине превышает			РР		только	поперечной
		его значение		вызываемое
нагрузкой Р; б — при			48EJ				прогиб
			нагрузке,	действующей в одну сторону,
балки вычисляется по			формуле	(24) или в случае сжатия		по	форму­
ле (25);	в и г — при		нагрузках,	вызывающих прогиб в разные сто­
	роны, формулы (24) и (25) неприменимы.
На фиг.	14. 16 показан стержень, нагруженный по середине сосредоточен­
ной силой Р, изгибающей стержень, и продольными силами N, сжимающими
его. Предположим		сперва, что приложена только сила Р, а				силы N отсут-
				РР				из­
ствуют. Тогда прогиб у будет равен, как известно,------ , а максимальный
гибающий момент-		РІ				силы N		(си-
		----. Теперь приложим также продольные
		4

ла N не должна, конечно, превосходить критического значения Νκρ— см. § 1). Очевидно, они создают дополнительный изгибающий момент в каждом сечении балки и вызовут поэтому увеличение прогиба у. Если бы продольные силы N были не сжимающими, а растягивающими, то они, наоборот, уменьшали бы изгибающие моменты от поперечной нагрузки и, следовательно, уменьшали бы прогиб балки.

Случай совместного сжатия или растяжения и изгиба представляет собой явление слишком сложное. Поэтому мы лишь приведем здесь без доказатель­ ства одну приближенную формулу, позволяющую в наиболее часто встре­ чающихся случаях нагрузки определить прогиб и, следовательно, изгибающие моменты в сечениях растянуто- и сжато-изогнутых Тіалок.

Пусть имеем простую балку, загруженную поперечной нагрузкой, изги­ бающей балку (фиг. 14. 16,6): сплошной нагрузкой постоянной или переменной интенсивности q, сосредоточенными силами Рі, Р2, сосредоточенными пара­ ми Af ци М в, приложенными к концам балки. Эти нагрузки могут быть про­ извольными с одним лишь ограничением: они изгибают балку так, что ее упругая линия не имеет точек перегиба (см. далее примечание). Кроме изги­ бающих нагрузок, имеется продольная сила Ν, растягивающая или сжимаю­ щая; на фиг. 14. 16,6 она показана растягивающей.

487

Прогиб такой балки выражается формулой

У=	Уо	(24)

где у а — прогиб, вызываемый только поперечной нагрузкой (без про­ дольных сил N);

л э = —	величина, вычисляемая по формуле Эйлера	независимо от
	гибкости стержня, называемая эйлеровой силрй (она имеет
	смысл критической силы только при сжатии).
Здесь J — момент инерции сечения стержня в плоскости изгиба.
В случае сжатия сила N меняет знак и вместо формулы		(24) будем иметь
	Уо	(25)
	У=

Зная прогиб балки у в любом сечении, можно определить изгибающий момент в этом сечении балки, вызываемый продольной силой N. Он, очевидно, равен произведению Ny.

В случае растяжения сила N, как мы уже отмечали, уменьшает изгибаю­ щий момент, вызываемый поперечной нагрузкой. Формула для вычисления окончательного изгибающего момента имеет вид

M ^ M Q- N y ,

(26)

где М 0— изгибающий момент от действия только поперечной нагрузки.

В случае сжатия продольная сила увеличивает изгибающий момент. Пол­ ный изгибающий момент выразится так:

M = M 0 -hNy.	(27)
П р и м е ч а н и е . Если поперечная	нагрузка изгибает балку так,

что она обращена выпуклостью не в одну сторону, а имеет точку пере­ гиба (см., например, фиг. 14. 16,в и г), то изложенный метод расчета к целой балке неприменим. В этом случае следует рассматривать часть балки, соответствующую одной полуволне, и определять величину N3. исходя из длины соответствующей части балки.

Пользуясь уравнениями (26) или (27), соответственно нагружению балки, следует установить величину Л1тах и затем произвести расчет данного сечения при одновременном действии изгибающего момента (с учетом момента от сжимающей силы) и продольной силы. Легко показать, что в данном Qnynae напряжения не пропорциональны нагрузке.

Пример. Стрингер состоит из двух бульбовых угольников № 1, склепан­

ных стенками	(см фиг. 14. 17,а). Момент инерции	сечения одного		угольника
относительно	центральной оси х—х (фиг. 14. 17,6)	равен	0,333 см'\	площадь
поперечного сечения /-"—0,64 смК Материал — дуралюмин			(£ = 7 -105 кг/см*).
На участке длиной 7=50 см между двумя нервюрами стрингер сжат силой
N = 375 кг и нагружен сплошной равномерно распределенной нагрузкой погон­
ной интенсивностью q= 0,5 кг/см. Требуется определить			наибольшее напря­

жение в стрингере на данном участке его, считая концевые сечения участка свободно поворачивающимися. Опасное сечение, очевидно, будет по сере­ дине, так как именно здесь имеют место и наибольший момент от поперечной нагрузки и наибольший прогиб.

488

Определим прогиб по середине рассматриваемого пролета по формуле (25).

Для этого сперва вычислим уд.		вызываемый равномерно распределенной на-
Прогиб і/о простой	балки,
			5?/ί
грузкой, по середине пролета равен Ш Ы- (см. пример 4 в § 4 гл. XI). Следо-
вательно, в нашем случае
	5 · 0,5 · 50*
			=0,0872 см.
_Уо= 384-7-105-2-0,333
Вычисляем также N 3:
N3=	K*EJ	2-7-105-2-0,333 ,„ гл
	-------- = ---------------- 1---- =1850			кг.
3	/*		50«
И, следовательно,
	Уо		0,0872	см.
У=-		_Л7	375 =0,11
	'Na		1 —-1850

Теперь можем определить наибольший изгибающий момент в стрин­ гере по формуле (27). Предварительно вычислим значение изгибающего

	а)	.q · 0,5кг/см
		ттТгп	N•хЗЫ
	N
			N1
		I=50см-
		5)
		Фиг. 14. 17.

момента Мд только от поперечной нагрузки. Он, как нам известно, равен

аР	0,5-50*
—	, т. е. М0 = ------------ =156 кгсм. Следовательно,
8	8
	Л4=Л40+1Ѵу= 156+ 375-0,11 = 156+ 41 = 197 кгсм.
	Наибольшее напряжение имеет место в верхней точке профиля. Здесь
суммируются напряжения		равномерного сжатия и изгиба:
		__N_	М_
		с шах — р 4" j г тах-
где 2 тах — расстояние от		центральной	оси до	верхнего края	сечения.
	Расстояние гтах (см. фиг. 14. 17,6)		равно	1,2 см. Таким	образом
	375	197
	атах= ------- + —-----—— 1,2=293+355=648 кг/см*.
	тах 2-0,64	2-0,333		'

Задача. Решить предыдущую задачу при наличии еще сосредоточен­ ной силы Р —10 кг по середине пролета. Ответ·. _ у=0,179 см; М=348 кгсм;

°тах=920 кг/см*.

489

Контрольные вопросы

1.Что называется критической силой и критическим напря­ жением?

2.В чем заключается расчет на устойчивость? Сравнить с

расчетом на прочность.

3. Какая разница между общей и местной потерей устойчи­ вости?

4.Напишите формулу Эйлера в двух видах и объясните, что такое приведенная длина, гибкость.

5.Чему равна приведенная длина в различных случаях за­ крепления?

6.Укажите пределы применимости формулы Эйлера для различных материалов. От чего зависит значение Хпрел?

7.Как производится расчет сжатых стержней на устойчи­ вость за пределами пропорциональности?

8.Объясните пользование графиками а КР и таблицей коэф­ фициентов φ ?

•9. Как производится подбор сечения сжатого стержня?

10.Как достигается равная местная и общая устойчивость в составных стержнях?

11.От чего зависит критическое напряжение прямоугольной гластины с прикрепленными краями?

12.Является ли оно разрушающим?

13.Что называется редукционным коэффициентом?

14.В каком случае изгиб называется продольно-поперечным?

Глава XV

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ

§1. Понятие пространственной фермы

Вглаве II рассматривались плоские фермы — геометрически неизменяемые системы из шарнирно соединенных стержней, все оси которых лежат в одной плоскости. Такие конструкции спо­ собны воспринимать только нагрузку, лежащую в плоскости фермы. В настоящей главе рассматриваются пространственные

фермы ■— неизменяемые системы, составленные из	стержней,
оси которых не лежат в одной плоскости. Соединение концов
стержней в узлах также предполагается шарнирным, т. е. до­
пускающим полную свободу поворота. В действительности узлы
обычно не шарнирны, а жестки: сварные или клепаные. Поэтому
излагаемый метод расчета является приближенным. Однако в
большинстве случаев, как показывают более точные	расчеты,

допущение о шарнирности узлов является приемлемым при определении усилий N в стержнях, так как не вносит значитель­ ной погрешности в определение усилий.

Геометрическая неизменяемость есть один из основных при­ знаков фермы и необходимое свойство ее как инженерной кон­ струкции. В следующем параграфе мы подробнее остановимся на том, как обеспечить геометрическую неизменяемость про­ странственной стержневой системы с шарнирными узлами. Здесь укажем только, что геометрически неизменяемой называется си­ стема, которая деформируется только вследствие деформации ее составных частей как упругих тел. Кинематические относительные перемещения элементов отсутствуют. При малых нагрузках де­ формация фермы также должна быть малой. Как указывалось, ферма обладает геометрической неизменяемостью в предположе­ нии шарнирности всех узлов. Таким образом жесткость узлов, су­ ществующая в действительности, является дополнительным фак­ тором, способствующим неизменяемости системы. Пространствен­ ные фермы часто существуют, как далее указано, в комбинации с другими видами строительных систем — рамами и оболочками. На фиг. 15. 1 изображена схема каркаса ферменного фюзеляжа.

491

На фиг. 15. 2,а представлен отдельно один отсек ферменного фю­ зеляжа. На фиг. 15.2,6 — подмоторная установка под звездооб­ разный двигатель. На фиг. 15. 3,а — ферма подъемного крана. На фиг. 15. 3,6, в и г даны другие примеры пространственных сцстем.

Фиг. 15.1. Пространственная ферма фюзеляжа самолета*.

Пространственная ферма гораздо чаще встречается в реалі^ ных конструкциях, чем плоская. Плоская ферма очень редко применяется самостоятельно. Обычно она является составной частью пространственной фермы. Так, две плоские фермы

Фиг.	15.2.
а — отсек ферменного фюзеляжа;	узлы	частью	сварные,	частью
(у расчалок) — шарнирные; б— мотоферма;		узлы	у кольца	сварные,

прикрепление фермы шарнирное.

ABCD и abed (фиг. 15.3,г) моста связываются поперечными связями в пространственную ферму, чтобы мост был в состоянии воспринимать боковые нагрузки (ветер) и имел необходимую устойчивость. Два ферменных лонжерона ABCD и abed (фиг. 15. 3,в), каждый из которых в отдельности есть плоская ферма, соединяются при помощи нервюр и обшивки в комбини­ рованную пространственную систему коробки крыла, состоящую*

* Чертеж заимствован из книги В. С. Чулкова «Конструкция и прочность самолетов», изд. ВВИА им. Жуковского, 1948.

492

из стержней и пластин, которую также можно назвать формоіі, где некоторые стержни заменены пластинами. Основные само­ летные конструкции представляются такими пространственными комбинациями стержней и оболочек.

Широко распространены также комбинированные простран­ ственные системы, где объединяются рамные и ферменные эле­ менты; первые обладают жесткими узлами и работают преиму­ щественно на изгиб, вторые работают на осевое растяжение или сжатие. На фиг. 15. 3,6 показан один из простейших примеров

G

а — ферма подъемного крана; б — пространственная система шасси; в — стержневой каркас крыла самолета; г — ферма балочного моста с ездой по низу.

такой конструкции. Стержни ADE, BD и CD шасси, не лежащие в одной плоскости, образуют неизменяемую пространственную систему (см. следующий параграф); нога яОЕ работает на сжа­ тие, изгиб и кручение (в опоре А предполагается закрепление, препятствующее вращению стойки AD вокруг ее оси), а под­ косы BD и CD, присоединенные к ноге и к опорам шарнирно, работают только на центральное растяжение или сжатие. Мо­ стовые фермы также содержат в себе рамы. Так, прямоуголь­ ники АВЬа и CDdc (фиг. 15. 3,г), которые-по условиям эксплоатации конструкции не могут содержать диагоналей (раскосов), должны быть выполнены как жесткие рамы.

493