- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Глава IX
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
§1. Основные допущения
Впредыдущей главе, § 1 и 3, было установлено, что при из гибе в поперечном сечении балки возникают нормальные напря жения о, создающие изгибающий момент М, и касательные τ, создающие поперечную силу Q. Сначала займемся определением нормальных напряжений. Рассмотрим случай изгиба, при кото ром касательные напряжения в поперечном сечении балки не возникают, т. е. случай, когда поперечная сила равна нулю. Так, например, при нагружении балки двумя одинаковыми момента ми взаимно противоположного направления (фиг. 9. 1) опорные реакции не возникают, и по всей длине поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент имеет постоянное значение. Такой случай изгиба, когда изгибающий момент постоянен, а попереч ная сила равна нулю, называется чистим изгибом. Это явление наблюдается и при других нагрузках. В условиях чистого изгиба находится, например, консоль при нагружении сосредоточенны ми моментами (фиг. 8. 16 и 8. 17), средняя часть балки на двух опорах (фиг. 8. 22) от действия двух симметричных сил и т. д. Вначале будем рассматривать балки постоянного сечения, имею щие хотя бы одну плоскость симметрии, совпадающую с пло скостью нагрузки (фиг. 8. 5). На фиг. 9. 2 изображен в увеличен ном масштабе участок балки прямоугольного сечения и показана се плоскость симметрии, которая одновременно является пло скостью нагрузки. Рассмотрим деформацию такой балки при чи стом изгибе ее парами сил, лежащими в плоскости симметрии. /Іо нагружения балки на ее боковой грани (фиг. 9. 3,а) проведем
близко друг к другу две линии 1—1 и 2—2 перпендикулярно к оси балки. Эти линии являются следами двух смежных попереч ных сечений, отстоящих друг от друга на очень малом расстоя нии Дх. Между этими сечениями на той же боковой грани про ведем прямые ab и cd, параллельные оси балки, одну вблизи нижнего, и другую вблизи верхнего края. До деформации все во локна, заключенные между параллельными сечениями, как вну-
251
тренние, так и на боковых гранях, равны между собой: ab=cd*■
— Ах. При изгибе балки ось ее искривляется, и одни волокна испытывают сжатие, а другие растяжение (фиг. 8.2). В рас сматриваемом нами случае чи-
Фиг. 9. I. Балка |
в условиях |
Фиг. 9.2. Плоскость симметрии |
чистого |
изгиба. |
нейтральный слой балки. |
1) линии 1—1 и 2—2 остаются прямыми и перпендикулярными оси балки, но наклоняются друг к другу и образуют малый угол
Δ0; |
2) отрезок |
cd укорачивается, |
а |
отрезок ab |
удлиняется. |
||||||||
|
|
|
|
|
Вследствие симметрии балки отно |
||||||||
|
|
|
|
|
сительно плоскости |
нагрузки обе |
|||||||
|
|
|
|
|
ее половины деформируются сим |
||||||||
|
|
|
|
|
метрично относительно |
этой пло |
|||||||
|
|
|
|
|
скости, но как происходит дефор |
||||||||
|
|
|
|
|
мация |
волокон, |
расположенных |
||||||
|
|
|
|
|
внутри |
балки |
между |
сечениями |
|||||
|
|
|
|
|
1—1 и 2—2, непосредственно |
из |
|||||||
|
|
|
|
|
опыта установить нельзя. Поэтому |
||||||||
|
|
|
|
|
естественно сделать |
вполне |
воз |
||||||
|
|
|
|
|
можное |
допущение, |
что все |
во |
|||||
|
|
|
|
|
локна, внутренние и боковые, рас |
||||||||
|
|
|
|
|
положенные на одном уровне, т. е. |
||||||||
|
|
|
|
|
в одном слое, |
перпендикулярном |
|||||||
Фиг. 9.3. Деформация балки при |
плоскости симметрии, |
изменяют |
|||||||||||
свою длину одинаково. |
Другими |
||||||||||||
|
изгибе. |
|
|
словами, не только следы сечений |
|||||||||
а — до деформации |
на боковой |
||||||||||||
на боковых гранях остаются пря |
|||||||||||||
грани нанесены параллельные ри |
мыми, но и сами плоские сечения |
||||||||||||
ски; |
б— после |
деформации |
попе |
||||||||||
речные риски |
наклоняются |
друг |
после деформации |
остаются пло |
|||||||||
к другу; продольные волокна с |
скими, наклоняясь |
друг к другу. |
|||||||||||
одной стороны |
сокращаются, а с |
Это допущение |
называется гипо |
||||||||||
|
другой — увеличиваются. |
|
|||||||||||
|
Деформация |
|
|
тезой плоских сечений. |
|
|
|||||||
|
волокон меняется |
от слоя к слою непрерывно. |
Сверху встречаются только сжатые волокна, а снизу только рас тянутые (фиг. 9.3,6). Следовательно, на каком-то уровне по
252
высоте балки обязательно встретится слой волокон, не изменяю щих своей длины. Этот слой называется нейтральным слоем. Он отделяет сжатую часть балки от растянутой и пересекает пло скость каждого поперечного сечения балки по прямой, которая называется нейтрально ,■линией. Так как по гипотезе плоских сечений все волокна каждого слоя, перпендикулярного к пло скости симметрии, деформируются одинаково, то и нейтральный слой, а вместе с ним и нейтральная линия перпендикулярны к
плоскости симметрии |
(фиг. 9.2). Но положение нейтральной ли |
||
нии по высоте сечения балки остается пока еще |
|
||
неопределенным. |
|
|
|
В опытах на изгиб с помощью специальных |
|
||
приборов, позволяющих измерить очень малые |
|
||
деформации, удается, кроме того, заметить, что |
|
||
сжатые в продольном направлении волокна |
|
||
получают увеличение поперечных размеров, а |
|
||
растянутые — сокращение поперечных разме |
|
||
ров. Ширина балки в сжатой зоне увеличивает |
|
||
ся, а в растянутой уменьшается. Например, |
|
||
прямоугольное поперечное сечение деформи |
|
||
руется, как показано на фиг. 9. 4. Эта дефор |
|
||
мация очень мала, |
она |
получается заметной |
|
только в брусе с очень большими упругими де |
Фиг. 9. 4. Дефор |
||
формациями, например, |
изготовленном из ре |
мация в попереч |
|
зины. Изменение поперечных размеров наблю |
ном сечении бал |
||
ки при изгибе. |
дается и при простом растяжении или сжатии бруса центральной продольной силой (фиг. 3.5). Следовательно,
волокна изгибаемой балки находятся в условиях простого растя жения и сжатия. Они свободно деформируются в поперечном на правлении, не нажимая при этом друг на друга. Таким образом результаты опытов на изгиб дают возможность принять следую щие предпосылки:
1)поперечные сечения остаются после деформации плоски ми и лишь поворачиваются около нейтральной оси (гипотеза плоских сечений);
2)продольные волокна испытывают простое (одноосное) рас тяжение и сжатие.
Эти предпосылки позволяют установить закон, по которому распределяются нормальные напряжения по поперечному сече нию балки.
§ 2. Распределение нормальных напряжений
При одноосном растяжении или сжатии между нормальным напряжением и относительным удлинением существует зависи мость, выражаемая законом пропорциональности [гл. Ill, § 2, формула (6)]:
a =Ez.
253
Чтобы выяснить изменение нормальных напряжений по сече нию балки, необходимо установить изменение удлинений воло кон при изгибе. Для этого рассмотрим малый элемент длиной АД", выделенный двумя очень близкими сечениями 1—1 и 2—2 (фиг. 9.3). После деформации балки оба торцевых сечения эле мента, оставаясь плоскими, повернутся около нейтральных осей, проходящих через точки Ох и 0 2, и образуют угол Л0, как пока зано на фиг. 9. 5, где изображен в увеличенном масштабе выде
ленный |
элемент после деформации балки. |
Ьолокно |
0 Х0 2, при I |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
надлежащее |
нейтральному слою, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
сохраняет |
свою |
первоначальную |
||||||
|
|
|
|
|
|
длину а х , |
потому что не испыты |
|||||||
|
|
|
|
|
|
вает ни растяжения, |
|
ни |
сжатия. |
|||||
|
|
|
|
|
|
Ниже нейтрального |
слоя все во |
|||||||
|
|
|
|
|
|
локна, в том числе и волокно аЬ. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
расположенное |
на расстоянии у |
|||||||
|
|
|
|
|
|
от нейтрального слоя, |
растянуты. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Абсолютное |
удлинение |
волок |
||||||
|
|
|
|
|
|
на аЬ найдем, если из его длины, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
полученной им после деформации, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
вычтем |
первоначальную |
длину. |
||||||
|
|
|
|
|
|
Для этого |
проведем |
|
через точку |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 2 плоскость |
Г—Г |
параллельно |
||||||
Фиг. 9.5. |
Изменение |
по |
высоте |
сечению 1—I. Она отсечет отре |
||||||||||
зок abx, равный |
первоначальной |
|||||||||||||
сечения балки удлинений |
волокон |
длине |
волокна, |
abx = Ox0 2= Ах. |
||||||||||
выделенного |
элемента |
после |
де- |
|||||||||||
формации изгиба. |
|
|
Оставшийся отрезок bxb представ |
|||||||||||
волокна |
ab. Если |
его |
|
|
ляет собой абсолютное удлинение |
|||||||||
разделить на |
первоначальную длину, то |
|||||||||||||
получится |
относительное |
удлинение |
ε = — = |
0\0% |
. |
Удлинение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
aby |
|
|
|
|
будет тем больше, чем дальше от нейтрального слоя расположено волокно и чем сильнее изгибается балка, т. е. чем больше ее кривизна. Выразим относительное удлинение в зависимости от расстояния у и от кривизны. Направления 1—1 и 2—2 пересе каются в точке С, которая является центром кривизны нейтраль
ного слоя (фиг. 9.5). Расстояние от |
центра кривизны до |
ней |
||||
трального слоя равно радиусу кривизны р = СОі. Умножая |
его |
|||||
на угол |
0, получим длину дуги 0 і0 2, равную первоначальной |
|||||
длине выделенного элемента |
Λχ=ρΔθ. |
|
|
|
||
Так как прямая Г—1' проведена |
параллельно ОхС, то угол |
|||||
bt0 2b, |
как соответственный |
при параллельных |
прямых, равен |
|||
углу 0 ХС02, образованному вследствие |
поворота |
крайних |
сече |
|||
ний элемента, ^ Ь х0 2Ь = // 0 1С02= А б. |
Подставляя его в выра |
|||||
жение относительного удлинения, получаем |
|
|
||||
|
_ 6,6 |
у А U |
у |
|
|
|
|
0 , 0 2 |
ρΔΟ |
р |
|
|
|
Радиус кривизны р зависит от того, насколько сильно изгибает-
254